Percobaan ketiga

Dalam halaman sebelumnya kita telah melihat bahwa pemetaan dari P ke p adalah injektif, tetapi belum tentu bijektif.

P \rightarrow p: \text{ injektif}

Sekarang kita akan melihat yang sebaliknya, yaitu pemetaan dari p ke P. Harapannya adalah kita mendapati bahwa p\rightarrow P adalah injektif juga.

p \rightarrow P: \text{ injektif}

Mengapa kita berharap demikian? Karena jika P \rightarrow p injektif, dan sebaliknya p \rightarrow P juga injektif, berarti kita dapat membuktikan bahwa P \rightarrow p bijektif (P \leftrightarrow p).

Mencari p\rightarrow P yang injektif

Pasangkan p kepada \left(p,\frac{1}{2} \right), yang berarti setiap bilangan yang mungkin bagi p akan berpasangan dengan setiap titik dalam ruas garis dengan ujung \left(0,\frac{1}{2}\right) dan \left( 1,\frac{}{2}\right).

Fungsi ini jelas akan bersifat total kiri karena setiap p akan memiliki pasangan. Demikian juga fungsi ini unik kanan karena pasangan p hanya satu, yaitu \left( p,\frac{1}{2} \right). Juga fungsi ini unik kiri karena pasangan P hanya satu.

Namun fungsi ini jelas tidak total kanan, karena hanya dipetakan pada salah satu ruas garis yang terdapat dalam persegi tersebut. Tidak semuanya. Karena bersifat total kiri, unik kanan, dan unik kiri, berarti fungsi ini injektif. Karena fungsi ini injektif, berarti ini sesuai dengan rencana pembuktian kita sebelumnya.

Konsekuensi: bijektif!

T1
P \rightarrow p injektif.
T2
p \rightarrow P injektif.
T3
IK(T1, T2)
P \rightarrow p injektif ∧ p \rightarrow P injektif.
P \rightarrow p bijektif.

Jadi pemetaan antara P dengan p adalah bijektif, sehingga banyaknya titik pada A dan B pastilah sama.

\left| A \right| = \left| B \right|

Alternatif penarikan kesimpulan akhir

Karena p \rightarrow P injektif juga, berarti dapat disimpulkan:

\left| A \right| \leq \left| B \right|

Kesimpulan yang dapat membuatmu mempertanyakan kewarasanmu

Ini berarti banyaknya titik dalam interval [0, 1] adalah sama persis dengan banyaknya titik dalam persegi [0, 1]×[0, 1]. Dengan kata lain, banyak titik dalam 1 dimensi adalah sama dengan banyak titik dalam 2 dimensi.

\left| 1D \right| = \left| 2D \right|\mathfrak{= c}

Atau dalam notasi matematika yang lebih umum untuk n-dimensi, 1 dimensi dapat dituliskan sebagai \mathbb{R}^1, 2 dimensi \mathbb{R}^2, dan seterusnya.

\left| \mathbb{R}^1 \right| = \left| \mathbb{R}^2 \right| = \mathfrak{c}

Dengan cara berpikir yang sama, kesimpulan yang sama juga dapat diperoleh untuk dimensi yang lebih tinggi.

\left| \mathbb{R}^1 \right| = \left| \mathbb{R}^2 \right| = \left| \mathbb{R}^3 \right| = \left| \mathbb{R}^4 \right| = ... = \mathfrak{c}

Ini berarti bahwa dimensi setinggi apapun akan mengandung banyak titik yang sama dengan sebuah ruas garis!

Berikutnya: Sekali lagi: Intuisi vs. Logika