Cakram Poincaré

Eugenio Beltrami memodelkan perilaku garis dalam bidang hiperbolik menggunakan bidang dalam lingkaran terbatas, yang kemudian dikembangkan ulang oleh seorang ahli matematika bernama Henri Poincaré.

Dalam bidang ini, Poincaré mendefinisikan ulang garis lurus. Garis lurus tidak benar-benar lurus, melainkan didefinisikan sebagai busur yang akan memotong lingkaran luar secara tegak lurus.

Pada gambar di bawah ini, busur p menurut definisi adalah garis lurus karena tegak lurus dengan lingkaran luar. Busur q bukan garis lurus, karena perpotongan q dengan lingkaran luar tidak membentuk sudut tegak lurus.

Contoh-contoh garis lurus dalam cakram Poincaré adalah seperti pada gambar di bawah ini.

Cobalah sendiri membuat garis lurus pada cakram di bawah ini.

Nah, karena garis lurus didefinisikan secara demikian, berarti ada berapa garis yang melewati T sekaligus sejajar p yang dapat dibuat?

Ada banyak sekali! Gambar di bawah ini menunjukkan tiga contoh garis yang melewati T yang juga sejajar garis p, karena tidak pernah memotong p.

Juga, segitiga dalam bidang ini akan memiliki jumlah sudut dalam kurang dari 180°.

Ternyata postulat 5 Euclid bukanlah sesuatu yang mutlak. Kamu dapat menggantinya dengan kalimat lain tetapi tetap konsisten dengan postulat-postulat sebelumnya. Bahkan, Poincaré mengganti definisi garis lurus dengan definisi yang lain, yang tidak sesuai dengan yang diajarkan kepada kita sewaktu SD, tetapi tetap menghasilkan sistem yang konsisten.

Euclid's puzzling parallel postulate - Jeff Dekofsky (TED-Ed)

Non-Euclidean Geometry - Yosi Studios

Non-Euclidean Geometry - Jacob Yoon

Non-Euclidean Geometry - Artikel mengenai geometri non-Euclidean yang dilengkapi dengan GeoGebra.

Berikutnya: Perbandingan ketiga Geometri