Pembuktian

Pembuktian adalah rangkaian simbol-simbol yang menunjukkan urutan perubahan. Masing-masing kalimat dalam pembuktian dipisahkan oleh tanda titik koma.

Contoh

Buktikan bahwa $\forall x : x + SSS 0 = SSS x$ dalam bahasa first order.

Kita memiliki dua aksioma yang dapat digunakan:

$\forall x : x + 0 = x$ , dan
$\forall x : \forall x^{'} : x + S x^{'} = S (x + x^{'})$

Karena itu pembuktiannya dapat disusun dari aksioma-aksioma tersebut:

\forall x \forall x \forall x \forall x \forall x \forall x \forall x : x + 0 = x : x + S 0 = S (x + 0) : x + S 0 = S x : x + SS 0 = S (x + S 0) : x + SS 0 = SS x : x + SSS 0 = S (x + SS 0) : x + SSS 0 = SSS x

Bukti tersebut sebenarnya adalah satu rangkaian simbol yang sangat panjang.

$\forall x : x + 0 = x$ ; $\forall x : x + S 0 = S (x + 0)$ ; $\forall x : x + S 0 = S x$ ; $\forall x : x + SS 0 = S (x + S 0)$ ; $\forall x : x + SS 0 = SS x$ ; $\forall x : x + SSS 0 = S (x + SS 0)$ ; $\forall x : x + SSS 0 = SSS x$

Kita dapat mengatakan bahwa sebuah kalimat aritmetika terbukti jika dan hanya jika terdapat rangkaian simbol yang menunjukkan proses perubahan dari aksioma menuju ke kalimat yang hendak dibuktikan.

Berikutnya: Bilangan Gödel