Pembuktian diagonal untuk (0,1)

Sekarang kita akan mencoba membandingkan banyaknya bilangan real dalam interval (0,1) dengan banyaknya bilangan asli.

Berdasarkan prinsip penomoran, jika kita dapat menomori setiap anggota himpunan dengan bilangan asli dan bilangan asli dapat dipakai sampai habis, berarti banyak anggota kedua himpunan tersebut sama.

Mari kita nomori semua bilangan real antara 0 dan 1. Agar tidak menomori bilangan yang sama, daftar kita tidak boleh memasukkan lambang bilangan real yang berakhir dengan 999… (mengapa?). Karena sulit untuk mengurutkan bilangan real satu sesudah yang lain, maka kita akan menomori secara sembarang saja.

Bilangan 0,293718576… diberi nomor 1.
Bilangan 0,934884315… diberi nomor 2.

Dan seterusnya hingga terbentuk tabel yang menunjukkan nomor di kolom kiri dan bilangan realnya di kolom kanan. Tidak ada bilangan real yang boleh ditulis dua kali.

Mari kita andaikan setiap bilangan real antara 0 dan 1 sudah dinomori dengan bilangan asli. Perhatikan bahwa walaupun tabel ini hanya menampilkan 10 bilangan yang dinomori, tetapi kita mengasumsikan bahwa di bawahnya masih banyak bilangan real lain yang sudah ditulis secara lengkap, dan sudah dinomori.

Jika benar demikian, berarti banyaknya bilangan real dalam interval (0,1) sama banyak dengan bilangan asli.

Berikutnya, mari kita coba lihat diagonalnya.

Diagonalnya adalah bilangan 0,231935885… yang karena adalah bilangan real antara 0 dan 1, seharusnya termasuk dalam daftar tersebut. Kita sebut bilangan ini sebagai D.

Tetapi bagaimana jika kita membuat bilangan D’ dengan aturan sebagai berikut: Setiap angka pada D ditambah dengan 1, kecuali untuk 9 diubah menjadi 0. D’ akan menjadi 0,342046996…, yang juga adalah bilangan real antara 0 dan 1.

Juga terlihat bahwa D’ sama sekali berbeda dengan D.

Karena D’ berbeda total dengan diagonal D, berarti kita harus menyimpulkan bahwa bilangan D’ pasti tidak termasuk dalam daftar tersebut.

Bagaimana ini? Ternyata dihasilkan kesimpulan yang saling kontradiksi.

Gara-gara apa ya? Dalam pembuktian tak langsung menggunakan kontradiksi, jika ada kesimpulan yang kontradiksi pasti asumsi awal yang dibuat sudah salah. Dalam hal ini asumsi awal kita adalah H_0. Jadi pengandaian H_0-lah yang bermasalah.

Karena itu H0 pasti salah, karena menghasilkan kontradiksi. Berarti yang benar adalah negasinya:

Karena belum semua bilangan mendapat nomor, berarti bilangan real dalam interval (0, 1) pastilah lebih banyak dari bilangan asli hingga menyebabkan bilangan asli sudah habis terpakai sebelum dapat menomori seluruhnya.

Berdasarkan hasil sebelumnya:

Maka ini juga berarti bahwa banyaknya bilangan real lebih banyak dari bilangan asli!

Ternyata tak berhingga tidak hanya satu macam! Ada tak berhingga yang lebih dari tak berhingga! Astaga!

Sejumlah video terkait hal ini

Ada video-video bagus yang menjelaskan mengenai ketakberhinggaan. Silakan ditonton untuk memberikan pemahaman yang lebih lengkap.

• How to Compare Infinities - Undefined Behavior
• How Big is Infinity? - Dennis Wildfogel (TED-Ed)
• Some Infinities are Bigger than Other Infinities (Diagonalization) - Undefined Behavior
• Integers & Reals have Different, Infinite Sizes! - Trefor Bazett
• The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky (TED-Ed)

Berikutnya: Kardinalitas, Aleph, dan fraktur c