Percobaan pertama

Bilangan real dapat dinyatakan dalam bentuk desimal, misalnya 0,419285213... atau 0,9310310310...

Seandainya kita mengambil sebuah bilangan dari interval [0, 1], misalnya bilangan \frac{\pi}{10}, yang dalam desimal adalah 0,3141592653...

Dari ekspansi desimal bilangan tersebut, dibentuk bilangan lain yang digitnya berasal dari digit urutan ganjil bilangan semula, yaitu digit pertama, ke-3, ke-5, dan seterusnya.

Demikian juga dengan digit urutan genapnya. Diambil untuk dibentuk bilangan baru.

Sekarang kita memiliki dua bilangan tambahan, yaitu 0,3452559… dan 0,1196387…

Proses ini menunjukkan bahwa kita selalu bisa menghasilkan dua bilangan dari sebuah bilangan.

0.31415926535897\ldots \rightarrow (0.3452559\ldots,\ 0.1196387\ldots)

Dua bilangan baru ini bisa dianggap sebagai koordinat. Karena masing-masing bilangan nilainya berada dalam interval \left\lbrack 0,1 \right\rbrack, maka koordinat yang dihasilkan akan dapat mewakili titik dalam persegi yang diinginkan.

p \rightarrow (x,y)

Tidak unik kanan

Sampai di sini tampaknya kita telah berhasil membuat fungsi bijektif antara sebuah bilangan dengan koordinat. Namun hati-hati. Ada sebuah masalah di sini. Bagaimana dengan bilangan \frac{1}{2} atau 0,5? Agar dapat menggunakan teknik ini, 0,5 harus dinyatakan sebagai 0,5000….

Jika dipisahkan digitnya, akan membentuk dua bilangan baru, yaitu 0,500… atau \frac{1}{2}, serta 0,000… atau 0. Berarti:

\frac{1}{2} \rightarrow \left(\frac{1}{2},0\right)

Namun ingat juga bahwa bilangan 0,5000… adalah sama dengan 0,4999…, yang jika dipisahkan digitnya:

Bilangan yang dihasilkan adalah 0,4999… yang sama dengan \frac{1}{2}, serta 0,999… yang sama dengan 1.

\frac{1}{2} \rightarrow \left(\frac{1}{2},1\right)

Berarti relasi p dengan (x,y) tidak unik kanan, karena setidaknya untuk p=\frac{1}{2}, terdapat dua koordinat pasangannya, yaitu \left( \frac{1}{2},0\right) dan \left(\frac{1}{2},1\right). Ini berarti relasinya tidak unik kanan, bukan fungsi, apalagi fungsi bijektif.

p \rightarrow \begin{cases} \left(\frac{1}{2},0\right) \\ \left(\frac{1}{2},1\right) \end{cases}

Permasalahan ini dapat diatasi dengan menetapkan bahwa setiap bilangan yang dapat dinyatakan dalam dua macam ekspansi desimal (berakhiran 9... dan 0...), harus dipilih salah satunya saja. Jika dibatasi demikian, maka bilangan 0,49999... harus dipetakan dengan koordinat (\frac{1}{2},0)

Tidak unik kiri

Namun tidak semudah itu. Untuk p = \frac{34}{110} = 0,3090909\ldots maupun p = \frac{2}{5} = 0,4 akan memiliki koordinat yang sama, karena keduanya akan memiliki koordinat yang sama.

p = \frac{34}{110} memiliki koordinat (0.3999...,0) atau (4,0).

Sementara p = \frac{2}{5} juga memiliki koordinat (4,0).

\begin{rcases} \frac{34}{100} &= 0.3\overline{09} \\ \frac{2}{5} &= 0.4 \end{rcases} \rightarrow (4,0)

Ternyata tidak bijektif

Kesimpulannya, cara seperti ini selain tidak unik kanan juga ternyata tidak unik kiri. Karena itu kita akan mencoba sebaliknya, mencari fungsi yang memetakan koordinat P ke bilangan p.

Berikutnya: Percobaan kedua