David Hilbert (1862-1943)

a1c-pemikiran-godel-turing-media-image1-png

David Hilbert adalah seorang matematikawan Jerman, yang pandangan filsafat matematikanya disebut sebagai formalisme.

Formalisme

Untuk memahami pandangan formalisme, kamu dapat membayangkan permainan catur. Tidak ada yang mengharuskan bahwa raja dan ratu diletakkan di tengah. Juga tidak ada yang mengharuskan kuda memiliki lintasan 2×3. Semuanya terserah pada si pembuat permainan catur. Walaupun begitu, setiap kali kita sepakat dengan aturan permainan, konsekuensinya akan selalu jelas. Orang yang melanggar langkah permainan catur berarti tidak sedang bermain catur. Benar salahnya langkah yang dilakukan ditentukan oleh satu hal: Aturan permainan catur.

Kira-kira seperti itulah matematika dalam pandangan formalisme. Matematika adalah sekumpulan aturan. Tidak ada yang mengharuskan bahwa hanya ada satu garis sejajar yang dapat dibuat melalui titik tertentu (aksioma 5 Euclid). Tidak ada yang mengharuskan 1+1=2. Namun sekali suatu hal mengikuti aksioma tertentu, hal-hal tertentu lainnya akan otomatis mengikuti. Artinya walaupun 1+1 tidak harus 2, tetapi jika kita sudah sepakat 1+1=2, maka 1+2 harus sama dengan 3.

Dalam formalisme, kebenaran pernyataan matematika dinilai dari bisa tidaknya pernyataan tersebut dibuktikan dari aksioma tertentu. Kebenaran pernyataan matematika bukan dinilai berdasarkan makna objek-objek yang dibicarakan, seperti garis, titik, bilangan, dan sebagainya. Ini membuat pandangan ini dikritik seolah-olah mereduksi matematika sebagai permainan yang tidak bermakna.

Di satu sisi pandangan formalisme ini seolah-olah menghilangkan makna dari pembicaraan matematika. Namun di sisi lain pandangan ini juga memberikan ruang kreativitas dalam matematika. Kalau kamu tidak puas dengan suatu teori matematika, buatlah teori lainnya yang mengandung aksioma yang berbeda. Yang penting adalah konsekuensinya tetap sesuai dengan aturan dan tidak menghasilkan kontradiksi alias konsisten. Tampaknya, sepanjang sejarah perkembangan matematika, matematika yang dibuat dengan cara seperti inipun akhirnya memiliki penerapan dalam dunia nyata, seperti misalnya teori knot.

Permasalahan-permasalahan Hilbert

Jangan salah mengerti. Yang dimaksud bukan masalah pribadinya seperti masalah cinta atau hutang, tetapi permasalahan matematika.

Pada tahun 1900, dalam sebuah kongres internasional matematikawan di Paris, Hilbert menyajikan sepuluh dari total dua puluh tiga permasalahan dalam matematika. Secara lengkap kedua puluh tiga permasalahan tersebut dipublikasikan setelahnya.

Permasalahan-permasalahan yang diajukan oleh Hilbert diajukan karena jawaban atas masalah-masalah ini penting bagi perkembangan matematika di masa yang akan datang. Tiga di antaranya adalah:

Membuktikan hipotesis kekontinuan (masalah 1), karena hipotesis kekontinuan belum terbuktikan pada saat itu. Belakangan hipotesis ini dibuktikan sebagai undecidable oleh Paul Cohen.
Membuktikan bahwa aritmetika konsisten (masalah 2). Aritmetika adalah matematika yang berurusan dengan bilangan dan perhitungan, khususnya bilangan bulat. Para matematikawan merasa bahwa aritmetika pastilah konsisten, tetapi belum ada satupun yang berhasil membuktikannya.
Menyusun aksioma fisika (masalah 6). Hukum-hukum fisika sangat bersifat matematis. Seharusnya hukum yang bersifat matematis dapat direduksi menjadi aksioma-aksioma yang lebih sederhana. Optimisme ini akan segera dihancurkan oleh fisika modern abad 20.

Stephen G. Simpson menuliskan, “… Hilbert melihat permasalahan-permasalahan ini penting melampaui matematika. Matematika bukan hanya ilmu yang paling logis dan jelas, tetapi juga merupakan contoh spektakuler dari kekuatan pikiran manusia. Jika matematika gagal, demikian juga semangat manusia.”

Berikutnya: Bertrand Russell (1872-1970)