Bilangan Gödel

Di sinilah letak kejeniusan Gödel. Beliau membuat sistem penomoran pernyataan matematika yang hari ini disebut sebagai penomoran Gödel.

Kalau sebelumnya kita menomori teorema dengan 1, 2, 3, dan seterusnya:

Gödel menggunakan cara lain. Dalam sistem Gödel, setiap simbol dalam pernyataan matematika diasosiasikan dengan bilangan tertentu. Sistem Gödel yang asli menggunakan perkalian bilangan prima, tetapi kita akan menggunakan sistem yang lebih sederhana.

Di bawah ini adalah tabel yang menunjukkan bilangan yang berpadanan dengan masing-masing simbol.

Contoh

Berapakah nomor aksioma \forall x:x + 0 = x?

Kalimat tersebut jika diterjemahkan adalah:

Nomor aksioma kalimat tersebut adalah 4.113.431.321.112.513 atau empat kuadriliun seratus tiga belas triliun empat ratus tiga puluh satu milyar tiga ratus dua puluh satu juta seratus dua belas ribu lima ratus tiga belas.

Jadi alih-alih kita menuliskan:

Kita akan menuliskan:

Contoh

Terjemahkan pernyataan berikut ini sebagai bilangan Gödel:

Untuk setiap x, y, dan z yang adalah bilangan asli: Jika x kurang dari y, dan y kurang dari z, maka x akan kurang dari z.

Dalam simbol bahasa formal dituliskan sebagai:

Karena sistem penamaan variabel kita menggunakan tanda ‘, maka y dituliskan sebagai x’, dan z sebagai x’’. Formula di atas dapat dituliskan ulang sebagai:

Mari kita terjemahkan masing-masing simbol sebagai bilangan.

Seluruh bilangan di atas digabungkan, sehingga menghasilkan bilangan Gödel untuk pernyataan matematis tersebut, yang menjadi nomornya.

Bilangan tersebut dibaca sebagai:

Empat oktodesiliun seratus tiga belas septendesiliun empat ratus tiga puluh empat seksdesiliun seratus tiga belas kuindesiliun seratus empat puluh empat kuatuordesiliun tiga ratus empat puluh satu tredesiliun seratus tiga puluh satu duodesiliun empat ratus empat belas undesiliun empat ratus tiga puluh satu desiliun tiga ratus dua puluh enam noniliun seratus tiga puluh satu oktoliun empat ratus tiga puluh satu septiliun seratus tiga puluh satu sekstiliun empat ratus dua puluh enam kuintiliun seratus tiga puluh satu kuadriliun empat ratus empat belas triliun tiga ratus tiga puluh satu milyar tiga ratus dua puluh enam juta seratus tiga puluh satu ribu empat ratus empat belas.

Bilangan yang sangat besar! Namun tetap ini adalah sebuah bilangan!

Bilangan Gödel untuk substitusi

Dalam bahasa formal matematika, kita juga memerlukan ungkapan berikut:

substitusi x ke y

Yang akan berarti hasil dari substitusi setiap variabel dalam y menjadi x. Ungkapan ini juga memiliki bilangan Gödelnya sendiri.

What is a Godel Number? (Arithmatization) - Carneades.org

Bilangan Gödel untuk pembuktian

Kita juga memerlukan bilangan Gödel untuk kalimat berikut:

x membuktikan y

Kalimat tersebut benar ketika arti bilangan x adalah rentetan pembuktian yang menghasilkan arti bilangan y, dengan x dan y adalah bilangan Gödel. Ungkapan ini sendiri juga memiliki bilangan Gödel yang merupakan gabungan dari simbol-simbol sebelumnya. Namun karena akan terlalu rumit dan tidak relevan bagi pembuktian ini, kita tidak akan membahasnya.

Berikutnya: Self reference lagi