Ternyata ada

Ternyata memang ada! Gödel berhasil menunjukkan bahwa ada kalimat self-referential dalam aritmetika.

Yang Gödel secara jenius lakukan dalam pembuktiannya adalah menunjukkan bahwa sistem aritmetika apapun akan dapat memunculkan kalimat:

Kalimat ini benar tetapi tidak dapat dibuktikan.

Jika terdapat kalimat itu dalam matematika, berarti kalimat itu benar dengan sendirinya, tanpa dapat dibuktikan oleh aksioma apapun dalam sistem itu.

Karena sistem tersebut memiliki kalimat yang tak dapat dibuktikan, berarti sistem tersebut tidak akan komplet. Ini membawa kita pada kesimpulan bahwa sistem aritmetika yang konsisten pasti tidak komplet.

Bagaimana seandainya aritmetika ternyata tidak konsisten?

Sistem dapat menjadi tidak konsisten jika mengandung kontradiksi. Menurut principle of explosion, dari premis yang kontradiksi dapat disimpulkan apa saja. Berarti, dalam sistem yang mengandung kontradiksi, kesimpulan apapun dapat diperoleh, yang berarti sistem menjadi komplet.

Bagaimana Gödel membuktikan hal ini? Kita akan melihat pembuktiannya pada bagian berikutnya.

Pembuktiannya ditulis dalam paper matematika berjudul On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, yang diterbitkan dalam jurnal matematika Jerman pada tahun 1931. Dalam paper tersebut, Gödel menunjukkan bahwa sistem dalam Principia Mathematica yang ditulis Whitehead dan Russell tidak mungkin komplet. Ini sekaligus meruntuhkan impian Hilbert bahwa matematika dapat dibuktikan konsisten.

Berikutnya: First order logic