Interval (0, 1) dengan (0, 1]

Perhatikan bahwa dua interval berikut berbeda. Interval A terbuka di sebelah kiri maupun kanan, sementara B tertutup di sebelah kanan.

Interval (0,1) dan (0,1]

Artinya ada sebuah bilangan yang terdapat di B tetapi tidak terdapat di A, yaitu bilangan 1.

\begin{aligned} 1 &\notin (0,1) \\ 1 &\in (0,1] \end{aligned}

Sekilas terlihat bahwa banyaknya anggota B akan kelebihan 1 dibanding A karena:

B = A \cup \left\{ 1 \right\}

Kalau begitu, apakah B mengandung lebih banyak bilangan dari A? Tampaknya demikian, tetapi setelah kamu melalui asam garamnya kehidupanmu beberapa halaman sebelumnya, kamu akan menyadari bahwa kita tidak boleh secara gegabah menyimpulkan demikian.

Dari A ke B dapat dibuat suatu fungsi bijektif. Pertama, pasangkan setiap bilangan \frac{1}{n} dengan \frac{1}{n - 1}, dengan n bilangan asli mulai dari 2. Jadi \frac{1}{2} akan dipasangkan dengan 1, \frac{1}{3} akan dipasangkan dengan \frac{1}{2}, \frac{1}{4} dengan \frac{1}{3}, \frac{1}{5} dengan \frac{1}{4}, dan seterusnya. Dengan demikan setiap bilangan real yang berbentuk \frac{1}{n} dari \frac{1}{3} akan memiliki pasangan di B.

a1b-pemikiran-cantor-media-image36-png

Setiap bilangan real dalam interval A yang bernilai \frac{1}{n} dengan n\mathbb{\in N} dan n \geq 2 dipasangkan dengan bilangan real bernilai \frac{1}{n - 1} dalam interval B.

Karena bilangan yang tidak berbentuk \frac{1}{n} tidak disentuh sama sekali, berarti bilangan-bilangan tersebut cukup dipetakan dengan diri sendiri.

a1b-pemikiran-cantor-media-image37-png

Bilangan selain yang bernilai \frac{1}{n} dalam interval A dipasangkan dengan bilangan itu sendiri dalam interval B.

Karena setiap bilangan yang berbentuk \frac{1}{n} di A selalu memiliki pasangan \frac{1}{n - 1} di B, demikian juga bilangan yang berbentuk \frac{1}{n - 1} di B selalu memiliki pasangan \frac{1}{n} di A, berarti fungsi ini bijektif. Demikian juga karena untuk yang tidak berbentuk \frac{1}{n} dipetakan pada bilangan itu sendiri, berarti ini juga bijektif. Secara keseluruhan, fungsi ini bijektif.

Dengan demikian selesailah sudah. Setiap bilangan dalam interval A memiliki pasangan dalam interval B, demikian juga sebaliknya. Juga tidak ada satupun bilangan pada A yang memiliki lebih dari satu pasangan pada B dan sebaliknya. Kita telah berhasil membuat sebuah fungsi bijektif dari interval \left( 0,1 \right) ke interval \left( 0,1 \right\rbrack, yang berarti banyak bilangan dalam kedua interval tersebut sama persis.

\left| \left( 0,1 \right) \right| = \left| \left( 0,1 \right\rbrack \right|

Berikutnya: Interval (0, 1) dengan bilangan asli

Ditulis oleh
Pak Ari
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
sejarah pemikiran tokoh