Kurt Gödel (1906-1978)

Kurt Gödel adalah seorang matematikawan Austria yang berpindah kewarganegaraan ke Amerika. Penemuan terpentingnya adalah teorema ketaklengkapan (incompleteness theorem) yang menunjukkan bahwa sistem yang mengandung aritmetika akan bersifat:

1. Hanya bisa komplet saja atau konsisten saja. Kalau konsisten, tidak akan bisa komplet. Kalau tidak konsisten baru bisa komplet. Karena sistem yang konsisten akan lebih baik daripada yang tidak konsisten, maka jika kita yakin bahwa aritmetika konsisten, konsekuensinya adalah aritmetika tidak komplet. Ada pernyataan-pernyataan yang benar dalam aritmetika yang tak mungkin dibuktikan.

2. Tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri.

Sifat ini terjadi dalam segala macam sistem yang mengandung aritmetika. Sederhananya, sistem deduktif apapun yang dapat membuktikan bahwa 1+1=2 akan secara otomatis memiliki sifat ini.

Sistem deduktif yang kita pelajari dalam bab sebelumnya bebas dari masalah ini. Dalam sistem-sistem tersebut kita tidak dapat membuktikan bahwa 1+1=2.

Contoh sistem yang mampu membuktikan aritmetika adalah sistem aksioma Peano.

20^th Century Mathematics – Godel - The Story of Mathematics

Berikutnya: Kebenaran dan Bukti