Contoh 2: Negasi kalimat aljabar

Kalimat-kalimat terbuka di bawah ini memiliki himpunan pembicaraan {1, 2, 3, 4, 5}.

\begin{aligned} a\left( x \right) &= x < 3\\ b\left( x \right) &= x \leq 3\\ c\left( x \right) &= x > 3\\ d\left( x \right) &= x \geq 3\\ e\left( x \right) &= x \in \left\{ 1,\ 2 \right\}\\ f\left( x \right) &= x \in \left\{ 3,\ 4,\ 5 \right\} \end{aligned}

Tunjukkan kalimat yang saling ekivalen dan yang saling negasi.


Untuk menentukan ekivalensi dan negasi, kita akan menggunakan tabel kebenaran. Sediakan 6 kolom untuk masing-masing kalimat, ditambah sebuah kolom di kiri untuk menuliskan keadaan yang mungkin.

a(x) b(x) c(x) d(x) e(x) f(x)
x < 3 x ≤ 3 x > 3 x ≥ 3 x ∈ {1,2} x ∈ {3,4,5}

Tuliskan keadaan-keadaan yang mungkin dalam konteks ini. Karena keadaan yang berbeda diakibatkan oleh nilai x yang berbeda, maka yang harus didaftarkan di sebelah kiri adalah nilai x-nya.

x a(x) b(x) c(x) d(x) e(x) f(x)
x < 3 x ≤ 3 x > 3 x ≥ 3 x ∈ {1,2} x ∈ {3,4,5}
1
2
3
4
5

Tentukan benar salah kalimat sesuai dengan nilai x yang diberikan. Misalnya untuk a\left( x \right):

a\left( x \right) = x < 3
a\left( 1 \right) = 1 < 3 benar
a\left( 2 \right) = 2 < 3 benar
a\left( 3 \right) = 3 < 3 salah
a\left( 4 \right) = 4 < 3 salah
a\left( 5 \right) = 5 < 3 salah

Maka yang diisikan dalam tabel:

x a(x) b(x) c(x) d(x) e(x) f(x)
x < 3 x ≤ 3 x > 3 x ≥ 3 x ∈ {1,2} x ∈ {3,4,5}
1B
2B
3S
4S
5S

Demikian seterusnya hingga kolom f.

x a(x) b(x) c(x) d(x) e(x) f(x)
x < 3 x ≤ 3 x > 3 x ≥ 3 x ∈ {1,2} x ∈ {3,4,5}
1BBSSBS
2BBSSBS
3SBSBSB
4SSBBSB
5SSBBSB

Dua kalimat saling ekivalen jika kemungkinan benar salah untuk keduanya sama persis, yang dalam tabel ditandai dengan sama-sama benar atau sama-sama salah. Karena itu:

  • a(x) dan e(x) ekivalen, karena kedua kolomnya sama persis.

  • d(x) dan f(x) ekivalen, karena kedua kolomnya sama persis.

  • a(x) dan b(x) tidak ekivalen, karena ada kondisi yang dapat berbeda, yaitu ketika x = 3. a(3) salah, sementara b(3) benar.

Negasi ditentukan berdasarkan kolom yang saling berlawanan. Kalau satu kalimat benar, yang lain harus salah, dan sebaliknya. a(x) dan d(x) saling negasi, karena setiap keadaan x mengakibatkan yang satu benar dan yang lain salah. Dengan demikian yang saling negasi adalah:

  • a(x) dengan d(x)

  • a(x) dengan f(x)

  • b(x) dengan c(x)

Ditulis oleh
Ari Prasetyo
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
logika tabel kebenaran negasi