Penjumlahan yang mana?

Membicarakan aksioma tampak seperti pembicaraan yang bertele-tele dan tidak berguna. Namun kita memerlukannya karena hal ini dapat memperjelas makna kata penjumlahan yang kita maksud. Terutama dalam pembicaraan matematika yang harus menghindari multi-tafsir.

Dalam keseharian, ada konsep penjumlahan yang lain, seperti yang dikatakan oleh Kabul berikut ini.

Kabul
Man, berapa 1 ditambah 1?
Usman
2 dong! Jelas sekali!
Kabul
Salah lho.
Usman
Kok bisa?
Kabul
Nih! Saya punya setetes air.
Usman
Oke ...
Kabul
Saya tambah dengan setetes air lagi.
Kabul meneteskan tetesan kedua di atas tetesan pertama sehingga keduanya menjadi satu.
Kabul
Plup! Hanya ada satu tetes! Jadi 1 ditambah 1 bukan 2, tetapi tetap 1!
Usman
Wuih! Betul juga ya! Ternyata kita semua dibohongi oleh guru SD kita. Ini pasti konspirasi elit global agar kita semua bodoh dan mudah dikontrol!

Bagaimanakah kira-kira isi pikiran Kabul?

Sebelum meneteskan air, tidak ada air di sana. Jadi kemungkinan besar Kabul memaksudkan bahwa tidak ada air ditambah dengan air setetes, menjadi air setetes.

Jadi operasi yang Kabul maksudkan adalah seperti ini:

0 ditambah 0 adalah 0
0 ditambah 1 adalah 1
1 ditambah 0 adalah 1
1 ditambah 1 adalah 1

Untuk menyingkat penulisannya, kita akan menggunakan simbol \oplus. Penggunaan simbol ini untuk membedakan dengan penambahan aritmetika + yang telah kita pelajari sejak SD.

\begin{aligned} 0 \oplus 0 &= 0 \\ 0 \oplus 1 &= 1 \\ 1 \oplus 0 &= 1 \\ 1 \oplus 1 &= 1 \\ \end{aligned}

Apakah ini memenuhi sifat aksioma penjumlahan bilangan real? Mari kita selidiki berdasarkan aksioma-aksiomanya.

Tertutup: Dipenuhi, karena a \oplus b juga adalah bilangan dalam himpunan tersebut.
Komutatif: Dipenuhi, karena a \oplus b = b \oplus a
Asosiatif: Dipenuhi, karena (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c). Kita dapat mendaftarkan kemungkinan-kemungkinannya sebagai berikut:

\begin{aligned} (0 \oplus 0) \oplus 0 &= 0 \oplus (0 \oplus 0) &= 0 \\ (0 \oplus 0) \oplus 1 &= 0 \oplus (0 \oplus 1) &= 1 \\ (0 \oplus 1) \oplus 0 &= 0 \oplus (1 \oplus 0) &= 1 \\ (0 \oplus 1) \oplus 1 &= 0 \oplus (1 \oplus 1) &= 1 \\ (1 \oplus 0) \oplus 0 &= 1 \oplus (0 \oplus 0) &= 1 \\ (1 \oplus 0) \oplus 1 &= 1 \oplus (0 \oplus 1) &= 1 \\ (1 \oplus 1) \oplus 0 &= 1 \oplus (1 \oplus 0) &= 1 \\ (1 \oplus 1) \oplus 1 &= 1 \oplus (1 \oplus 1) &= 1 \\ \end{aligned}

Identitas: Dipenuhi, karena ada 0 sebagai elemen identitas, yang mengakibatkan a \oplus 0 = a

Sekarang bagaimana dengan invers? Karena identitasnya adalah 0, berarti penjumlahan dengan invers harus menghasilkan nilai 0.

\begin{aligned} a \oplus b &= 0 \implies \text{invers a adalah b} \\ \end{aligned}

Ini berlaku untuk a = 0:

\begin{aligned} 0 \oplus 0 &= 0 \implies \text{invers 0 adalah 0} \end{aligned}

Namun untuk bilangan 1, kita tidak menemukan inversnya, karena ditambah berapapun, tidak akan menghasilkan 0.

\begin{aligned} 1 \oplus 0 &= 1 \\ 1 \oplus 1 &= 1 \\ \end{aligned}

Ternyata tidak ada b yang mengakibatkan 1\oplus b=0.

Bagaimana jika kita memaksa ada inversnya?

Baiklah, mari kita andaikan ada invers yang kita sebut b. Ini kita sebut sebagai hipotesis 0 (H_0). Berarti:

\begin{aligned} H_0: 1 \oplus b &= 0 \\ \end{aligned}

Apa yang akan diakibatkan oleh hipotesis ini? Mari kita lihat akibatnya terhadap aksioma asosiativitas. Menurut aksioma ini, dua pengelompokan di bawah ini harus memberikan hasil yang sama.

\begin{aligned} (1 \oplus 1) \oplus b &= 1 \oplus (1 \oplus b) \\ \end{aligned}

Mari kita coba hitung. (1 \oplus 1) bernilai 1. Lalu (1 \oplus b) akan bernilai 0 sesuai dengan H_0.

\begin{aligned} \boxed{(1 \oplus 1)} &\oplus b &= 1 &\oplus \boxed{(1 \oplus b)} \\ \boxed{1} &\oplus b &= 1 &\oplus \boxed{0} \end{aligned}

Selanjutnya, di sebelah kiri muncul 1 \oplus b yang menurut H_0 akan menghasilkan 0, dan sebelah kanan muncul 1 \oplus 0 yang adalah 1.

\begin{aligned} (1 \oplus 1) \oplus b &= 1 \oplus (1 \oplus b) \\ 1 \oplus b &= 1 \oplus 0 \\ 0 &= 1 \end{aligned}

Ternyata hasilnya jadi absurd! Maka kita harus menyimpulkan bahwa H_0 salah. Tidak mungkin ada invers apapun dalam sistem penjumlahan Kabul ini.

Apakah ini penjumlahan?

Jadi walaupun penjumlahan Kabul tampak sebagai penjumlahan, dan mungkin memang bisa disebut sebagai penjumlahan, tetapi ini bukan penjumlahan bilangan real karena tidak memenuhi syarat penjumlahan bilangan real.

Ketika dalam aritmetika (matematika hitung menghitung) kita mengatakan menjumlah, yang kita maksudkan adalah operasi bilangan yang memenuhi aksioma-aksioma yang kita pelajari sebelumnya. Dengan menggunakan rangkaian aksioma ini, kita harus sama-sama menyimpulkan bahwa 1 + 1 = 2.

Jadi walaupun dalam keseharian kita bisa menggunakan istilah yang sama, tetapi istilah tersebut tidak tentu selalu bermakna sama. Dalam matematika kita dibantu oleh sejumlah aksioma yang membentuk suatu sistem deduktif untuk memperjelas makna yang mana yang kita maksudkan.

Sebagai perbandingan, ...

Banyak istilah yang kita pakai sehari-hari memiliki makna yang berbeda bergantung konteksnya. Misalnya kata "kaki" memiliki makna yang berbeda dalam kalimat, "Ia memijat kakinya," dengan, kalimat, "Meja itu patah kakinya." Kedua kasus tersebut mirip karena kaki adalah sebutan bagian yang digunakan untuk menopang (tubuh dan papan meja), tetapi kaki manusia bisa dipakai untuk berjalan dan bisa dipijat.

Jadi dalam kasus Kabul, ia memang benar dalam mengatakan bahwa 1 tetes air ditambah 1 tetes air tetap 1 tetes. Namun ia tidak boleh mengatakan bahwa 1 ditambah 1 sama dengan 2 adalah salah, karena dua istilah tambah tersebut mengacu pada dua sistem yang berbeda.

Selain itu, jika setiap tetes air yang diteteskan Kabul adalah 0,01 ml, maka total tetes gabungannya adalah 0,02 ml. Jadi walaupun Kabul benar dalam pengertian tertentu, tetapi penjumlahan bilangan real juga tetap benar dalam pengertian lainnya. Tidak ada kontradiksi di sini, karena walaupun benda yang dibicarakan masih sama, aspek yang dibicarakan berbeda.

1 tetes	+	1 tetes	=	1 tetes	(penjumlahan Kabul untuk tetesannya)
0,01 ml	+	0,01 ml	=	0,02 ml	(penjumlahan bilangan real untuk volumenya)

Jika demikian, apakah setiap kali kita mengatakan penjumlahan kita perlu berbicara panjang lebar mengenai aksiomanya?

Biasanya secara alami kita akan punya konteks default yang akan kita pakai dalam pembicaraan, sehingga kita tidak perlu menjelaskan dengan detail setiap kata yang kita pakai. Dalam sebagian besar kasus, penjumlahan yang kita maksud adalah penjumlahan bilangan real. (Atau bulat — keduanya memiliki set aksioma yang sama.) Jadi ketika orang tidak menjelaskan maknanya secara khusus, diasumsikan ia sedang menggunakan makna ini. Jika kamu hendak menggunakan makna lain, kamulah yang perlu menjelaskan maknanya.

Plot twist: Dalam matematika ada juga penjumlahan yang lain

Sistem aksioma tidak hanya satu. Aksioma yang kita pakai secara umum untuk menjumlah dan menambah adalah aksioma yang kita pelajari sebelumnya. Namun ada sistem lain dalam matematika yang bisa menimbulkan kesan bahwa penjumlahan 1 dan 1 tetap 1. Beberapa contohnya adalah himpunan, operasi logika OR, dan bilangan tak berhingga.

Teori himpunan

Dalam teori himpunan, kita mendefinisikan A digabung B sebagai himpunan yang isinya juga terdapat dalam A atau terdapat dalam B.

\begin{aligned} A &= \{a, b\} \\ B &= \{c, d, e\} \\ A \cup B &= \{a, b, c, d, e\} \end{aligned}

Secara jumlah, anggota A \cup B memenuhi aksioma penjumlahan aritmetika, tetapi secara himpunan, himpunan A \cup B adalah sebuah himpunan. Jadi sebuah himpunan digabung dengan sebuah himpunan lain tetap menjadi sebuah himpunan.

A	B	A \cup B
Sebuah himpunan	Sebuah himpunan	Sebuah himpunan juga

Perhatikan juga bahwa ketika kita tertarik dengan banyaknya anggota himpunan alih-alih himpunan itu sendiri, penjumlahannya menjadi lebih aneh.

Dalam contoh sebelumnya, banyaknya himpunan A adalah 2, yang kita simbolkan sebagai |A|=2. Lalu |B|=3, dan |A \cup B|=5. Ini sesuai dengan penjumlahan yang kita kenal, yaitu 2+3=5. Namun hal yang sama tidak akan terjadi jika kita menambahkan c sebagai anggota dalam himpunan A.

\begin{aligned} A &= \{a, b, c\} \\ B &= \{c, d, e\} \\ A \cup B &= \{a, b, c, d, e\} \end{aligned}

Sekarang, |A|=3, |B|=3, dan |A \cup B|=5, seolah-olah 3+3=5, yang tidak sesuai dengan penjumlahan aritmetika yang kita kenal. Penyebabnya adalah karena penggabungan himpunan mengabaikan kelebihan anggota yang sama, yaitu c.

Jadi tidak semua penjumlahan harus memiliki arti yang sama. Yang penting ketika kita berkomunikasi, kita dapat memastikan bahwa baik kita maupun lawan bicara kita sedang membicarakan benda yang sama.

Operasi logika OR

Dalam logika simbolik kita tertarik untuk menyelidiki kebenaran dari kalimat yang terdiri dari sejumlah anak-anak kalimat yang dihubungkan oleh kata atau.

Kalimat majemuk, Kulu mengangkat tangan kiri atau kanan, terdiri dari dua anak kalimat yang dapat kita singkat sebagai q dan k.

q = Kulu mengangkat tangan kiri.
k = Kulu mengangkat tangan kanan.

Keduanya dihubungkan dengan kata hubung atau, yang berarti setidaknya salah satu dari dua anak kalimat itu dimaksudkan untuk benar. Untuk menyingkat, kata penghubung atau disimbolkan sebagai ∨.

q∨k = Kulu mengangkat tangan kiri atau kanan.

Namun kita belum tahu apakah Kulu benar mengangkat tangan kiri dan apakah Kulu benar mengangkat tangan kanan, sehingga ada 4 keadaan yang mungkin bagi Kulu.

Keadaan	q	k
	Salah	Salah
	Salah	Benar
	Benar	Salah
	Benar	Benar

Dalam logika, kita biasanya juga menyingkat benar dan salah menjadi B dan S. Simbol yang lain yang juga sering digunakan adalah 1 untuk benar dan 0 untuk salah.

Keadaan	q	k
	0	0
	0	1
	1	0
	1	1

Karena kata penghubung atau memaksudkan bahwa setidaknya ada satu yang benar dari dua anak kalimat tersebut, berarti yang memenuhi adalah kondisi pada baris ke-2, 3, dan 4, sehingga nilai 1 dari q \lor k hanya berada pada baris 2, 3, dan 4.

q	k	q \lor k
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Perhatikan bahwa nilai kebenaran dari q \lor k ini cocok dengan sistem penjumlahan Kabul sebelumnya.

\begin{aligned} 0 \oplus 0 &= 0 \\ 0 \oplus 1 &= 1 \\ 1 \oplus 0 &= 1 \\ 1 \oplus 1 &= 1 \\ \end{aligned}

\begin{aligned} 0 \lor 0 &= 0 \\ 0 \lor 1 &= 1 \\ 1 \lor 0 &= 1 \\ 1 \lor 1 &= 1 \\ \end{aligned}

Sistem ini disebut sebagai aljabar boolean. Dalam aljabar boolean, bilangan yang diperbolehkan hanyalah 0 dan 1, dan penjumlahan didefinisikan dengan cara tepat sama dengan sistem Kabul. Seandainya Kabul hidup sebelum George Boole, maka aljabar ini akan disebut sebagai aljabar Kabulian, atau lebih tepatnya aljabar Kaboolean.

Jadi jika simbol ⊕ dalam aljabar Kabulian menjadi ∨, kita akan dapat mempertukarkan dua sistem tersebut. Kesesuaian dua sistem dengan cara seperti ini disebut sebagai isomorfisme.

Bilangan tak berhingga

Bilangan tak berhingga juga punya sifat mirip aljabar Kabul. Dalam sistem yang hanya terdiri dari bilangan tak berhingga dan nol, penjumlahan yang masuk akal adalah:

\begin{aligned} 0 &+ 0 &= 0 \\ 0 &+ \infin &= \infin \\ \infin &+ 0 &= \infin \\ \infin &+ \infin &= \infin \end{aligned}

Walaupun ini bukan penjumlahan antara 0 dan 1, tetapi struktur ini mirip dengan struktur aljabar Kabul.

\begin{aligned} 0 \oplus 0 &= 0 \\ 0 \oplus 1 &= 1 \\ 1 \oplus 0 &= 1 \\ 1 \oplus 1 &= 1 \\ \end{aligned}

\begin{aligned} 0 &+ 0 &= 0 \\ 0 &+ \infty &= \infty \\ \infty &+ 0 &= \infty \\ \infty &+ \infty &= \infty \end{aligned}

Jadi jika simbol 1 diubah menjadi ∞, dan simbol ⊕ menjadi +, kita akan dapat mempertukarkan dua sistem tersebut. Kesesuaian dua sistem dengan cara seperti ini disebut sebagai isomorfisme.

Berikutnya: Variabel, ekspresi, pernyataan, dan kalimat terbuka