Penjumlahan (dan pengurangan)

Dua bilangan real dapat dijumlahkan. Di bawah ini kita akan melihat sejumlah aksioma mengenai penjumlahan.

Aksioma adalah aturan dasar yang kita terima begitu saja tanpa perlu dibuktikan kebenarannya.

Kamu tidak perlu menghafalkan setiap istilah yang muncul pada halaman ini. Aturan-aturan ini sudah pernah kamu pelajari sewaktu SD, dan seharusnya kamu sudah sangat fasih menggunakannya. Jadi itu yang lebih penting. Istilah-istilah ini akan sering muncul dalam matematika, jadi kamu akan hafal dengan sendirinya tanpa perlu secara sengaja menghafalkannya.

Tertutup

Penjumlahan memiliki sifat tertutup. Istilah tertutup dalam matematika berarti hasil operasinya masih termasuk dalam himpunan yang dipakai. Dalam bilangan real sederhananya adalah: Hasil penjumlahan bilangan real juga adalah bilangan real.

3 + 5 adalah 8, yang adalah bilangan real.
7.114 + 12.6 adalah 19.714, yang juga bilangan real.
5+\sqrt{2} adalah 6,414... yang juga adalah bilangan real.

Secara umum kita dapat mengatakan bahwa jika a dan b bilangan real, maka a+b juga adalah bilangan real.

\tag{tertutup} a\in\mathbb{R} \land b\in\mathbb{R} \implies a+b\in\mathbb{R}

Ilustrasi: Operasi tertutup (penjumlahan) — Operasi penjumlahan bersifat tertutup dalam domain bilangan real. Namun bagaimana dengan akar?

Komutatif

Penjumlahan 5 dengan 3 menghasilkan 8, demikian juga penjumlahan 3 dengan 5.

\begin{aligned} 5 &+ 3 &= 8 \\ 3 &+ 5 &= 8 \\ \end{aligned}

Dengan demikian, 5 + 3 akan bernilai sama ketika urutan operasinya dibalik.

5 + 3 = 3 + 5

Kita dapat menyatakan ini sebagai aturan yang berlaku untuk sembarang bilangan. Kita tidak membuktikannya satu per satu, tetapi kita membuat aturan ini secara umum berlaku untuk semua bilangan real tanpa perlu bukti. Aturan yang tidak perlu bukti disebut sebagai aksioma. Aturan penjumlahan yang kita bicarakan ini disebut sebagai aksioma komutativitas penjumlahan. Aksioma ini juga sering disebut sebagai hukum, aturan, maupun sifat, tergantung dari konteks pembicaraannya.

Untuk sembarang bilangan real a, b:

\tag{komutatif} a+b = b+a

Asosiatif

Penjumlahan tiga bilangan real juga akan tetap sama, entah kita mengerjakan pasangan bilangan yang mana dulu. Misalnya dalam penjumlahan 5+3+4, kita dapat menjumlahkan 5 dengan 3 terlebih dahulu, atau 3 dengan 4 terlebih dahulu, dan hasilnya akan sama.

\begin{aligned} (5 + 3) + 4 &= 8 + 4 &= 12 \\ 5 + (3 + 4) &= 5 + 7 &= 12 \\ \end{aligned}

Karena itu, kita menyatakan hal ini secara umum berlaku untuk semua bilangan real a, b, dan c.

Untuk sembarang bilangan real a, b, c:

\tag{asosiatif} (a+b)+c = a+(b+c)

Kita menyebut aturan ini sebagai aksioma asosiativitas penjumlahan.

Perhatikan bahwa karena yang dijumlahkan terlebih dahulu bisa yang mana saja, maka tanda kurung tidak lagi penting, sehingga kita dapat menuliskan penjumlahan 3 bilangan real tanpa tanda kurung.

(a+b)+c = a+(b+c) = a + b + c

Identitas

Ketika kita menjumlah suatu bilangan dengan 0, kita akan memperoleh bilangan yang sama.

\begin{aligned} 5 + 0 &= 5\\ 3 + 0 &= 3 \end{aligned}

Dalam matematika, operasi yang tidak mengubah objek disebut sebagai identitas. Nol dalam hal ini disebut sebagai elemen identitas, karena ketika bilangan dioperasikan dengan nol hasil yang diperoleh sama dengan bilangan tersebut.

Aksioma umum untuk penjumlahan dengan nol dapat kita tuliskan sebagai berikut, yang kita sebut sebagai aksioma identitas penjumlahan.

Untuk sembarang bilangan real a:

a + 0 = a

Invers penjumlahan

Seperti yang telah dibahas sebelumnya, menjumlahkan sebuah bilangan dengan negatifnya akan menghasilkan nol (elemen identitas).

\begin{aligned} 3 + (-3) = 0\\ (-5) + 5 = 0\\ \end{aligned}

Ini adalah contoh dari aturan umum mengenai penjumlahan bilangan dengan negatifnya. Aturan umumnya disebut sebagai aksioma invers penjumlahan.

Untuk sembarang bilangan real a:

\tag{invers} a+(-a) = 0

Negatif dari bilangan disebut juga sebagai elemen invers penjumlahan.

Pemanis tulisan

Telah kamu lihat bahwa bilangan real selalu memiliki invers, yaitu bilangan negatifnya.

\begin{aligned} 5 &+ (-5) &= 0\\ \frac{9}{4} &+ \left(-\frac{9}{4}\right) &= 0\\ \frac{3}{7}\sqrt{11} &+ \left(-\frac{3}{7}\sqrt{11}\right) &= 0 \\ \end{aligned}

Untuk menyingkat penulisan, maka kita bisa menghilangkan operator + dan langsung menuliskan inversnya.

Ini bersesuaian dengan konsep pengurangan yang telah kita kenal sebelumnya. Jadi, sekarang pengurangan dapat direduksi menjadi konsep yang lebih mendasar, yaitu penjumlahan bilangan dengan inversnya.

\begin{aligned} 5 &- 5 &= 0\\ \frac{9}{4} &- \frac{9}{4} &= 0\\ \frac{3}{7}\sqrt{11} &- \frac{3}{7}\sqrt{11} &= 0 \\ \end{aligned}

Karena operasi aljabar pengurangan hanyalah suatu cara yang lebih ringkas untuk mengungkapkan penjumlahan dengan bilangan negatif, maka tidak tentu aksioma penjumlahan berlaku mentah-mentah terhadap operasi pengurangan. Misalnya, pengurangan tidak memenuhi aksioma komutatif. Ini dapat dengan mudah kita lihat pada contoh 7-4 dengan 4-7 ini.

\begin{aligned} 7-4 &= 3 \\ 4-7 &= -3 \\ 7-4 &\ne 4-7 \end{aligned}

Namun kita dapat melihat bahwa jika kita kembalikan pada bentuk penjumlahan, komutativitas tetap berlaku.

\begin{aligned} 7+(-4) &= 3 \\ (-4)+7 &= 3 \\ 7+(-4) &= (-4)+7 \end{aligned}

Jadi penyebab dalam pengurangan kita tidak menjumpai aturan komutatif adalah karena yang kita jumlahkan pada dasarnya sudah berbeda.

\begin{aligned} 7-4 &= 7+(-4) &\text{ yang dijumlahkan 7 dan -4}\\ 4-7 &= 4+(-7) &\text{ yang dijumlahkan -7 dan 4}\\ 7-4 &\ne 4-7 \end{aligned}

Ringkasan aksioma penjumlahan

Berikut ini adalah tabel aksioma-aksioma yang telah kita daftarkan sebelumnya.

Tertutup	Penjumlahan bilangan real akan menghasilkan bilangan real juga.	\begin{aligned} a\in\mathbb{R} \land b\in\mathbb{R} \implies a+b \in \mathbb{R} \end{aligned}
Komutatif	Penjumlahan bernilai sama ketika urutan operasinya dibalik.	a+b=b+a
Asosiatif	Penjumlahan bernilai sama dikerjakan mulai dari mana saja.	\begin{aligned} a+b+c &= (a+b)+c \\ &= a+(b+c) \end{aligned}
Identitas	Penjumlahan sembarang bilangan dengan bilangan nol akan menghasilkan bilangan yang sama. Karena itu bilangan nol disebut sebagai identitas penjumlahan.	a + 0 = a
Invers	Penjumlahan bilangan dengan negatifnya akan menghasilkan bilangan nol. Karena itu negatif dari bilangan disebut sebagai invers penjumlahan.	a+(-a)=0

Berikutnya: Variabel, ekspresi, pernyataan, dan kalimat terbuka