Representasi desimal dari bilangan rasional

Tadi telah kita lihat bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dituliskan sebagai perbandingan bilangan bulat.

Bilangan \frac{3}{5} adalah bilangan rasional. Kita dapat dengan jelas melihatnya, karena bilangan tersebut sudah dituliskan sebagai perbandingan dua bilangan bulat, dengan pembilangnya adalah 3, dan penyebutnya adalah 5.

Dengan algoritma pembagian yang kita pelajari waktu SD, kita dapat menyatakan bilangan tersebut dalam bentuk desimal.

	0	6
5	3	0
	0
	3	0
	3	0
		0

Dengan didapat hasil \frac{3}{5}\ = \ 0.6, berarti bilangan \frac{3}{5} memiliki representasi desimal 0.6.

Dalam buku ini, kita akan menggunakan titik sebagai pemisah desimal.

Bagaimana dengan \frac{11}{3} ? \frac{11}{3} adalah bilangan rasional juga, karena jelas dapat dinyatakan sebagai perbandingan antara 11 dengan 3. Sekarang mari kita coba mendapatkan representasi desimalnya dengan algoritma pembagian.

		3
3	1	1
		9
		2

Ternyata hasil pembagiannya adalah 3 dengan sisa 2. Karena bersisa, kita dapat melanjutkannya lagi.

		3	6
3	1	1	0
		9
		2	0
		1	8
			2

Ternyata, setelah pembagiannya dilanjutkan, masih menghasilkan sisa 2. Kita dapat meneruskannya lagi ...

		3	6	6	6	6
3	1	1	0	0	0	0
		9
		2	0
		1	8
			2	0
			1	8
				2	0
				1	8
					2	0
					1	8
						2

Dan tetap akan menghasilkan sisa 2. Ternyata, pembagian ini dapat diteruskan tanpa henti, dan tetap menghasilkan sisa 2. Setiap kali menghasilkan sisa 2, kita menambah angka 6 di bagian belakang hasil pembagiannya. Karena selalu akan seperti itu, maka kita mengatakan bahwa ada tak berhingga angka 6 di belakang koma. Kita menuliskannya dengan tanda elipsis (...).

\frac{11}{3} = 3.6666666\ldots

Perhatikan bahwa walaupun kenyataannya kita tidak dapat menuliskan digit 6 secara lengkap dalam lambang bilangannya, nilai sebenarnya dari bilangan tersebut baru dapat tercapai jika banyaknya angka 6 di belakangnya adalah tak berhingga. Selama banyak angka 6-nya masih terhingga, nilainya tidak akan sama dengan \frac{11}{3}, melainkan hanya sekedar pendekatan saja.

\begin{aligned} 3.6 & \neq \frac{11}{3} \\ 3.66 & \neq \frac{11}{3} \\ 3.666 & \neq \frac{11}{3} \\ 3.6666 & \neq \frac{11}{3} \\ 3.6666666 & \neq \frac{11}{3} \\ 3.666666666\ldots & = \frac{11}{3} \end{aligned}

Dengan demikian, digit 6 di belakang koma haruslah benar-benar muncul tak berhingga kali agar nilainya sama persis, bukan hanya sekedar pendekatan.

Hal ini terjadi juga untuk bilangan rasional lainnya jika kita hendak menyatakannya dalam representasi desimal.

\begin{aligned} \frac{1}{9} &= 0.111111\ldots \\ - \frac{16}{3} &= - 5.33333\ldots \end{aligned}

Tidak harus satu digit saja

Dalam contoh sebelumnya digit berulang yang muncul adalah 6. Dalam kasus lain dapat terjadi perulangan yang terdiri dari 2 digit atau lebih.

\begin{aligned} \frac{15}{11} &= 1.3636363636\ldots \\ \frac{2}{7} &= 0.285714285714\ldots \\ \frac{71}{55} &= 1.290909090\ldots \end{aligned}

Jadi representasi desimal dari bilangan rasional pasti memiliki salah satu dari dua sifat berikut ini.

Memiliki akhir, misalnya 0.6, atau
Memiliki ekor berupa kelompok digit yang berulang terus menerus, misalnya 3.6666....

Latihan

Adakah kemungkinan lain di luar kedua sifat yang sudah kamu pelajari? Jika ada, deskripsikan sifatnya.
Dapatkah kedua sifat tersebut direduksi menjadi satu sifat saja? Petunjuk: angka apa yang dapat dituliskan di sebelah kanan 2.5 tanpa mengubah artinya?

Notasi untuk desimal berulang

Ada berbagai macam notasi yang digunakan untuk menuliskan bilangan pecahan desimal yang berulang.

Dalam contoh sebelumnya kita menggunakan notasi elipsis (...) di akhir penulisan bilangan untuk menunjukkan bahwa angka-angka di belakangnya dapat berulang terus menerus. Namun kita juga telah melihat bahwa bagian yang berulang tidak harus 1 digit saja, tetapi bisa lebih. Jika demikian, bagaimana kita akan mengetahui arti dari lambang bilangan berikut ini?

1.8585...

Ini menimbulkan kemungkinan multi tafsir, karena lambang bilangan tersebut dapat diartikan sebagai 1.858585858585858585... maupun 1.858555555555555555.... Pada penafsiran pertama digit yang berulang adalah dua yaitu 85, sedangkan pada penafsiran berikutnya digit yang berulang hanya satu yaitu 5 saja.

Karena dalam matematika kita harus memenuhi syarat terdefinisi baik (tidak multi-tafsir), maka kita perlu membuat notasi yang tidak dapat ditafsirkan secara berbeda. Ada banyak notasi yang umum dipakai, tetapi kita akan menggunakan dua macam notasi.

Notasi garis atas

Dengan notasi garis atas, kita menandai digit yang berulang dengan garis atas. Jadi dalam penulisan 1.85858585..., karena yang berulang adalah digit 85 seperti ini:

1.8585858585... = 1.\boxed{85}\boxed{85}\boxed{85}\boxed{85}\boxed{85}...

Kita cukup menuliskan digit 85 satu kali dengan tambahan garis atas: 1.\overline{85}.

1.\boxed{85}\boxed{85}\boxed{85}\boxed{85}\boxed{85}... = 1.\overline{85}

Untuk 1.85855555..., yang berulang adalah 5:

1.85855555... = 1.858\boxed{5}\boxed{5}\boxed{5}\boxed{5}\boxed{5}...

Jadi kita cukup menandai angka 5 yang terakhir dengan garis atas:

1.858\boxed{5}\boxed{5}\boxed{5}\boxed{5}\boxed{5}... = 1.858\overline{5}

Dengan demikian hati kita tidak perlu bimbang ketika harus menafsirkan lambang bilangan yang ditulis menggunakan notasi garis atas.

\begin{aligned} 1.\overline{85} &= 1.8585858585...\\ 1.858\overline{5} &= 1.85855555... \end{aligned}

Sejumlah contoh di bawah ini dapat membantumu untuk lebih memahami penggunaan notasi garis atas.

\begin{aligned} 2.33333... &= 2.\overline{3} \\ 0.49331331331... &= 0.49\overline{331}\\ -51.22222333333... &= -51.22222\overline{3}\\ \end{aligned}

Penulisan yang tidak valid

Perhatikan bahwa notasi garis atas hanya digunakan untuk digit di belakang koma (bagian pecahan). Jadi penulisan-penulisan berikut ini tidak valid:

56\overline{7}	Tidak valid: Digit 7 bukanlah bagian pecahan.
28\overline{6}.44	Tidak valid: Digit 6 bukanlah bagian pecahan.

Demikian juga penulisan notasi ini hanya boleh dilakukan untuk barisan digit terakhir saja.

-23,45\overline{97}	Valid: 97 di bagian pecahan paling belakang.
43,55\overline{6}14	Tidak valid: Digit 6 bukan bagian paling belakang.
32,19\overline{3}51\overline{6}	Tidak valid: Digit 3 bukan bagian paling belakang.

Notasi kurung

Dalam penulisan menggunakan papan ketik kita seringkali hanya dapat mengetik satu dimensi (dari kiri ke kanan), sementara notasi garis atas membutuhkan dimensi kedua (ke atas). Karena itu kita juga membutuhkan notasi yang dapat ditulis dengan cara seperti ini. Kamu akan memerlukannya dalam menjawab kebanyakan soal dalam situs ini.

Pada dasarnya kamu hanya perlu mengganti bagian yang menggunakan garis atas menjadi menggunakan tanda kurung dan elipsis.

Untuk contoh sebelumnya, yaitu 1.\overline{85}, kita dapat menuliskannya sebagai 1.(85...). Jadi bagian \overline{85} diganti dengan (85...). Jadi untuk contoh-contoh sebelumnya, cara penulisannya adalah sebagai berikut.

Notasi garis atas	Notasi kurung
1.\overline{85}	1.(85...)
1.858\overline{5}	1.858(5...)
2.\overline{3}	2.(3...)
0.49\overline{331}	0.49(331...)
-51.22222\overline{3}	-51.2222(3...)

Latihan

Berikutnya: Mengubah bentuk desimal menjadi perbandingan