Bilangan imajiner

Bilangan apakah yang dikuadratkan menjadi 4? Jawabannya ada dua macam. Bisa 2, bisa juga -2.

Namun bilangan apakah yang dikuadratkan menjadi -4? Ternyata tidak ada bilangan yang kita kenal sebelumnya yang jika dikuadratkan akan menjadi -4. Walaupun demikian, mari kita asumsikan bahwa bilangan itu ada. Jika bilangan itu ada, bilangan itu akan memenuhi persamaan ini.

x^{2} = - 4

Seperti yang telah kamu pelajari sebelumnya, objek-objek dalam matematika tidak harus memiliki makna. Selama kita dapat mendefinisikan dengan tidak multi-tafsir, aturannya tak boleh dilanggar, dan tunduk pada hukum-hukum logika, maka objek ini dapat diada-adakan.

Jadi berapakah nilai x? Seperti halnya persamaan kuadrat yang lain, x bisa memiliki dua hasil.

x = \sqrt{-4} atau x = -\sqrt{-4}

Karena:

(\sqrt{-4})^2 = -4 dan (-\sqrt{-4})^2 = -4

Bilangan \sqrt{-4} bukanlah bilangan real, karena tidak ada bilangan real yang dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif. Bilangan ini disebut sebagai bilangan imajiner.

Bilangan imajiner: Bilangan yang jika dikuadratkan akan menghasilkan bilangan real negatif.

Bilangan imajiner memenuhi syarat-syarat matematika, dan masih tunduk pada hukum aritmetika, misalnya penjumlahan, pengurangan, perkalian, serta pembagian.

Bilangan imajiner satuan disebut sebagai i. Bilangan imajiner ini setara dengan 1 dalam bilangan real.

i = \sqrt{-1}

Dengan demikian, setiap bilangan imajiner lainnya dapat dinyatakan sebagai perkalian dengan i.

\begin{aligned} \sqrt{-4} &= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{4}\\ &= \sqrt{-1} \cdot 2\\ &= i \cdot 2\\ &= 2i \end{aligned}

Dengan cara yang sama, kamu bisa menyatakan bilangan-bilangan imajiner lainnya sebagai perkalian dengan i.

\sqrt{-16} = 4i
\sqrt{-5} = \sqrt{5}i

Walaupun tidak real, tetapi bilangan imajiner cukup berguna dalam perhitungan-perhitungan tertentu. Misalnya, perhitungan impedansi listrik, fisika kuantum, dan sebagainya.

Ilustrasi: Teman Imajiner — Seperti halnya seorang anak kecil memiliki teman imajiner, bilangan real juga memiliki teman bilangan imajiner. Perbedaannya, bilangan imajiner memiliki penerapan penting dalam dunia nyata, sementara akan sangat menyeramkan jika teman imajiner adikmu mulai melakukan sesuatu dalam dunia nyata.

Latihan

Berikutnya: Bilangan kompleks