Relasi pada bilangan real

Istilah relasi berarti hubungan. Jadi relasi pada bilangan real berarti hubungan antara bilangan real.

Bukan hubungan seperti ini yang dimaksudkan.
Ilustrasi: Relasi bilangan real

Ada sejumlah hubungan yang dapat terjadi antara bilangan real.

Relasi kesamaan (ekivalen)

Hubungan dua bilangan real yang nilainya sama dituliskan dengan menggunakan tanda sama dengan =.

\begin{aligned} 5 &= 5 \\ 27 &= 27 \\ -3 &= -3 \\ \frac{1}{2}\sqrt{7}&=\frac{1}{2}\sqrt{7} \end{aligned}

Sebelumnya kita telah melihat bahwa bilangan dengan nilai sama tidak tentu dituliskan dengan cara yang sama, sehingga kalimat-kalimat di bawah ini benar:

\begin{aligned} 5 &= \frac{15}{3} \\ 4.3(9...) &= 4.4 \\ -\sqrt{4} &= -2 \\ \end{aligned}

Ada tiga aturan utama dalam relasi kesamaan bilangan real. Tiga aturan ini sangat jelas dengan sendirinya, tetapi tetap perlu kita sebutkan.

Refleksif

Suatu bilangan real pasti sama dengan dirinya sendiri.

a = a

Simetrik

Jika terdapat bilangan real a yang sama dengan b, berarti b juga sama dengan a.

a = b \implies b = a

Transitif

Jika bilangan real a sama dengan b, dan b sama dengan c, berarti a juga sama dengan c.

a = b \land b=c \implies a=c

Ketiga aturan di atas, yaitu refleksif, simetrik, dan transitif disebut sebagai aturan ekivalensi, dan relasi sama dengan disebut sebagai relasi ekivalen.

Selain bilangan real, hal-hal lain yang memiliki relasi ekivalen contohnya a kongruen dengan b pada geometri, a dan b ada dalam himpunan yang sama pada teori himpunan, juga a sekelas dengan b dalam keseharian di sekolah.

Relasi urutan

Bilangan real a yang kurang dari b dituliskan dengan simbol a\lt b. Seperti halnya relasi kesamaan, relasi urutan juga tunduk pada tiga aturan berikut ini.

Irefleksif

\text{Tidak\,benar\,bahwa}\, a \lt a

Transitif

a \lt b \land b \lt c \implies a\lt c

Terhubung total

a \ne b \implies a \lt b \lor b \lt a

Trikotomi

Untuk sembarang bilangan real a dan b, hanya salah satu yang dapat terjadi: Entah a\gt b, a\lt b, atau a=b.

Ditulis oleh
Ari Prasetyo
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
bilangan real relasi