Bilangan kompleks

Bilangan real dan imajiner adalah bilangan yang berbeda. Namun keduanya dapat disatukan dalam himpunan besar yang disebut bilangan kompleks.

Dalam himpunan bilangan kompleks, terdapat bilangan-bilangan real seperti:

Namun juga terdapat bilangan-bilangan imajiner seperti:

Selain terdapat kedua kelompok bilangan tersebut, bilangan kompleks juga mengandung penjumlahan keduanya.

• 1+\sqrt{-2}
• 8-3i
• 2\pi + \sqrt{-3\pi}

Secara umum, bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

Dengan a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner \sqrt{-1}.

Definisi ini juga mencakup bilangan real dan bilangan imajiner. Perhatikan bahwa bilangan real 5 dapat dinyatakan sebagai 5 + 0i dan bilangan imajiner \sqrt{-2} dapat dinyatakan sebagai 0 + \sqrt{2}i.

5 = 5 + 0i \sqrt{-2} = 0 + \sqrt{2}i

Simbol yang dipakai untuk mewakili bilangan kompleks adalah \mathbb{C}.

Latihan

1. Tuliskan bilangan-bilangan di bawah ini dalam format p+q i.

   1. 2 - 4i
   2. 3i - 4
   3. -5i - \sqrt{2}
   4. \sqrt{-5}+\sqrt{4}
   5. 18\frac{1}{2}
   6. \frac{1}{3}\sqrt{-3}
   7. \pi
   8. \pi - \sqrt{-e}

Bilangan kompleks khusus: Nol

Apakah nol bilangan kompleks? Tentu saja! Karena kita sebelumnya telah menggolongkan nol sebagai bilangan bulat yang berarti juga adalah bilangan real, sementara bilangan real adalah bilangan kompleks, maka tentunya nol adalah bilangan kompleks.

Nol juga dapat kita tuliskan dalam format a+bi, dengan a dan b keduanya nol.

Jadi nol adalah bilangan real dan sekaligus bilangan kompleks.

Namun perdebatan akan muncul ketika kita mempertanyakan nol sebagai bilangan imajiner. Bilangan imajiner biasanya diperoleh dengan mengakarkan bilangan negatif.

Namun tampaknya bentuk yang sama juga masih benar jika kita terapkan untuk nol.

Nah, jadi apakah nol termasuk bilangan imajiner? Di sinilah kita perlu menyeseuaikan dengan definisi bilangan imajiner.

Sebagian buku matematika mendefinisikan bilangan imajiner sebagai, Bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan real negatif, dan bilangan nol dikategorikan sebagai, bilangan bukan positif maupun negatif. Agar konsisten, maka dalam definisi ini nol bukanlah imajiner, karena jika dikuadratkan menghasilkan nol, yang bukanlah bilangan real negatif.

Namun ketika kita mendefinsikan bilangan imajiner sebagai, Bilangan yang jika dikuadratkan tidak menghasilkan bilangan positif, berarti nol boleh menjadi bilangan imajiner.

Apakah ini berarti imajineritas nol adalah multi-tafsir?

Kalau kita tidak menggunakan definisi yang jelas, akan menjadi multi-tafsir. Oleh karena itu, kita perlu memberikan definisi yang jelas agar tidak multi-tafsir.

Apakah ini berarti bisa ada sistem matematika yang berbeda?

Betul. Dua orang yang berbeda dapat memiliki sistem matematika yang berbeda. Karena itu dalam mengkomunikasikan ide matematika kita, kita perlu memberitahukan juga definisi-definisi yang kita pakai. Ini adalah bagian dari diskusi matematika yang sehat.

Sebelumnya kamu juga sudah membaca bahwa bilangan asli juga memiliki dua versi: Ada yang mulai dari 0, ada yang mulai dari 1.

Berikutnya: Pohon bilangan