Pangkat negatif

Sejauh ini kita telah mendefinisikan pangkat seperti ini:

\begin{aligned} a^n &= \underbrace{a\times a\times ... \times a}_{n\,\text{kali}}\\ a^1 &= a\\ a^0 &= 1 \, (\text{untuk}\,a\ne 0)\\ \end{aligned}

Bisakah pangkat negatif? Apakah yang akan menjadi artinya? Kita akan menggunakan teorema perkalian bilangan berpangkat sebelumnya.

a^m\times a^n = a^{m+n}

Seandainya m adalah bilangan negatif dan n positif, dengan m adalah -n:

\begin{aligned} m=-n\\ a^m\times a^n &= a^{m+n}\\ a^{-n}\times a^n &= a^{-n+n}\\ &= a^0\\ &= 1\\ \end{aligned}

Jadi karena:

a^{-n}\times a^n = 1

Berarti dengan membagi kedua ruas dengan a^n:

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

(catatan: a\ne 0)

Hati-hati dengan penyebut nol

Hati-hati ketika membagi kedua ruas seperti ini, karena ketika a=0, berarti kita sedang membagi dengan nol yang hasilnya tak tentu. \begin{aligned} 0^{-n}\times 0^n &= 1 \\ \frac{0^{-n}\times 0^n}{0^n} &= \frac{1}{0^n} \end{aligned} Jadi kita perlu membatasi pembicaraan kita dengan menyebutkan bahwa a\ne 0.

Beberapa contoh bilangan berpangkat negatif dengan nilainya adalah:

5^{-1}=\frac{1}{5}
2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}
3^{-4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}

Keindahan matematis

Dalam proses pembentukan aturan-aturan semacam ini, kita seringkali dapat menemukan bahwa seperangkat aturan yang kita miliki bekerja dengan cukup rapi.

Awalnya, kita mendefinisikan pangkat sebagai rangkaian perkalian terhadap diri sendiri.

\begin{aligned} a^3 &= a \times a \times a\\ a^2 &= a \times a\\ \end{aligned}

Kemudian, kita memiliki definisi khusus untuk a^1 yang tidak mengandung perkalian.

\begin{aligned} a^3 &= a \times a \times a\\ a^2 &= a \times a\\ a^1 &= a\\ \end{aligned}

Namun kita dapat memaksa perkalian untuk muncul dengan menuliskan 1 sebagai pengali untuk masing-masing pangkat tersebut. Perkalian dengan 1 tidak akan mengubah nilainya, jadi penulisan ini tetap sahih.

\begin{aligned} a^3 &= 1 \times a \times a \times a\\ a^2 &= 1 \times a \times a\\ a^1 &= 1 \times a\\ \end{aligned}

Perhatikan bahwa penulisan 1 ini membuat definisi a^0 menjadi make sense, karena dengan demikian a muncul sebanyak 0 kali, alias tidak muncul, yang berarti tersisa hanya bilangan 1.

\begin{aligned} a^3 &= 1 \times a \times a \times a\\ a^2 &= 1 \times a \times a\\ a^1 &= 1 \times a\\ a^0 &= 1\\ \end{aligned}

Bagaimana dengan pangkat negatif? Negatif adalah lawan dari positif, sehingga pangkat negatif berarti lawan dari perkalian, yaitu pembagian.

\begin{aligned} a^3 &= 1 \times a \times a \times a\\ a^2 &= 1 \times a \times a\\ a^1 &= 1 \times a\\ a^0 &= 1\\ a^{-1} &= 1 \div a\\ a^{-2} &= 1 \div a \div a\\ a^{-3} &= 1 \div a \div a \div a\\ \end{aligned}

Sangat simetris, bukan? Ini bukan hal yang kita sengaja rencanakan sejak awal, tetapi adalah konsekuensi logis dari proses pembentukan aturan yang kita lakukan. Dalam matematika, hal-hal semacam ini sering muncul. Kita punya kecenderungan mengharapkan simetri dalam aturan-aturan yang kita temukan, dan ketika kita menemukannya, ada sisi dalam intelektual kita yang terpuaskan. Hal-hal semacam ini disebut sebagai keindahan matematis (mathematical beauty). Seringkali (walaupun tidak selalu) keindahan semacam ini dapat menjadi petunjuk bahwa kita telah melakukan sesuatu dengan benar.

Berikutnya: Pangkat berpangkat