Ekor bilangan irasional

Sebelumnya kamu telah melihat bahwa bilangan rasional memiliki ekor yang merupakan digit yang berulang terus menerus. Misalnya \frac{22}{7}=3.\overline{142857}, \frac{3}{11}=0.\overline{27}, dan \frac{4}{5}=0.8\overline{0}. Betul, ekor \frac{4}{5} adalah 0 yang berulang.

Demikian juga kita dapat mengatakan bahwa bilangan desimal yang bagian pecahannya merupakan digit berulang, pasti adalah bilangan rasional.

Karena bilangan irasional bukan bilangan rasional, maka sifat ini juga tidak dimiliki oleh bilangan irasional. Artinya, ekor bilangan irasional tidak akan mengandung perulangan.

Contoh: Bilangan π

Sebagai contoh, bilangan π adalah bilangan irasional. Hingga hari ini manusia (lebih tepatnya komputer) sudah menghitung nilai π hingga triliunan digit di belakang koma. Walaupun demikian, digit-digit tersebut tidak pernah berulang dengan pola teratur seperti bilangan rasional.

Berikut ini adalah nilai π dengan 1000 digit di belakang koma.

Sebagai catatan, sewaktu SD kamu menggunakan nilai \pi=\frac{22}{7}. Bukan karena gurumu tidak tahu bahwa π adalah bilangan irasional, melainkan karena gurumu menginginkan yang terbaik untuk kamu, agar kamu dapat menghitung luas dan keliling lingkaran dengan mudah. Sekarang kamu sudah dewasa. Sudah saatnya kamu tahu kebenarannya.

Sejumlah contoh bilangan irasional lainnya adalah:

• \sqrt{2} = 1.414213562...
• \sqrt{3} = 1.732050808...
• \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.618033989...
• e = 2.718281828...

Membuktikan bahwa sebuah bilangan adalah irasional tidaklah mudah.

Kamu bisa bayangkan seperti ini. Seandainya ada orang yang memberimu sebuah bilangan dalam bentuk desimal yang digit di belakang komanya tidak berulang. Bagaimana kamu tahu bahwa digitnya tidak berulang? Tentunya dengan memeriksanya satu per satu dari digit pertama, digit kedua, dan seterusnya.

Namun ini adalah kegiatan yang tak akan pernah selesai. Selalu akan ada digit berikutnya. Ketika kamu menemukan bahwa sejauh ini digitnya tidak berulang dengan pola teratur, hal ini tidak menjamin bahwa digit berikutnya tidak mengulang dari digit tertentu yang telah kamu telusuri sebelumnya.

Dengan demikian, kita tidak dapat membuktikannya dengan cara tersebut. Pembuktian mengenai irasionalitas bilangan tertentu bisa dilakukan dengan bermacam-macam cara, salah satunya adalah dengan contoh akar 2 seperti yang ada di awal halaman ini.

Aktivitas

Buatlah sebuah persegi dengan panjang sisi 1 meter. Pastikan bahwa persegi ini tepat ukurannya, dan tidak miring. Gambarlah diagonal persegi panjang tersebut. Kemudian ukurlah panjang diagonal tersebut. Berapakah nilai yang kamu dapatkan?

Latihan

1. Bilangan-bilangan di bawah ini memiliki ekor yang panjangnya tak berhingga dengan pola tertentu. Manakah yang merupakan bilangan irasional? Berikan alasan bagi jawabanmu.

   1. 1.0101010101010…
   2. 1.01001000100001000001…
   3. 0.12345678901234567890123…
   4. 0.123456789101112131415…

Tugas

1. Bilangan-bilangan berikut ini adalah bilangan irasional: \sqrt{3}, \pi, 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \ldots}}. Carilah pembuktian bahwa bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan irasional dari berbagai sumber, kemudian presentasikan di depan kelas.

2. Ada sebuah teorema yang bunyinya sebagai berikut: Ada bilangan irasional p dan q yang jika dipangkatkan (p^q) menghasilkan bilangan rasional. Carilah pembuktian bagi teorema tersebut, kemudian presentasikan di depan kelas.

Berikutnya: Bilangan real