Variabel, ekspresi, pernyataan, dan kalimat terbuka

Variabel

Dalam bagian sebelumnya kamu melihat bahwa untuk menyatakan suatu aturan yang berlaku umum, kita dapat menggunakan huruf sebagai ganti lambang bilangan. Huruf-huruf ini disebut sebagai variabel.

Variabel (istilah lainnya: peubah) adalah suatu tempat yang dapat diganti dengan nilai tertentu. Jadi ketika kita mengatakan:

a+b = b+a

Dalam hal ini, huruf a tidak dimaksudkan sebagai bilangan berlambang a, melainkan sebagai tempat yang dapat diganti dengan bilangan. Kamu dapat membayangkan variabel sebagai titik-titik yang dapat diisi dengan bilangan.

\begin{aligned} ...+... &= ...+...\\ \end{aligned}

Namun jika ditulis sebagai titik-titik, tentunya kita tidak dapat mengetahui bahwa bilangan yang mengisi titik-titik paling kiri haruslah sama dengan bilangan yang mengisi titik-titik paling kanan (\boxed{...}+... = ...+\boxed{...}), sehingga penggantian seperti ini semua valid:

\begin{aligned} 1+8 &= 1+8\\ 1+1 &= 8+1\\ 8+1 &= 1+8\\ \end{aligned}

Karena itulah kita menggunakan simbol huruf agar jelas bahwa huruf yang sama harus diisi dengan bilangan yang sama.

a + b = b + a

Jika a diganti 5 dan b diganti 4, berarti satu-satunya kemungkinan adalah:

5 + 4 = 4 + 5

Ekspresi aljabar

Sebuah ekspresi aljabar atau ungkapan aljabar merupakan rangkaian yang terdiri dari bilangan atau operasi terhadap bilangan. Kita menyebut tulisan di bawah ini sebagai ekspresi karena merupakan operasi dari dua bilangan.

2+7

Beberapa contoh ekspresi lainnya adalah:

53 Bilangan saja sudah merupakan ekspresi.
53+14 Ini adalah operasi terhadap bilangan 53 dan 14, jadi merupakan ekspresi.
23-x Ini juga merupakan ekspresi, dan di dalamnya terkandung variabel.
18+19-44+37 Ini juga merupakan ekspresi.

Sementara dua contoh berikut ini tidak dikategorikan sebagai ekspresi aljabar. Kita akan lihat alasannya di bagian selanjutnya.

\begin{aligned} 21+33&=54\\ 39-41&=-15\\ \end{aligned}

Pernyataan aljabar

Dua contoh sebelumnya bukan lagi membicarakan operasi sebagai yang terutama, melainkan sudah membicarakan relasi, yaitu relasi sama dengan.

\begin{aligned} 21+33 &\boxed{=} 54\\ 39-41 &\boxed{=} -15\\ \end{aligned}

Karena ada relasi, maka makna dari kedua tulisan di atas adalah terkait benar-salahnya.

21+33 = 54 adalah benar.
39-41 = -15 adalah salah.

Bandingkan dengan ketika kita hanya menuliskan bagian penjumlahan atau pengurangan di sebelah kirinya, yang kembali menjadi sekadar ekspresi aljabar. Keduanya tidak lagi dapat dinilai sebagai benar maupun salah.

21+33 tidak benar maupun salah.
39-41 tidak benar maupun salah.

Jadi pernyataan dapat dinilai benar maupun salah, tetapi ekspresi tidak. Sebaliknya, ekspresi memiliki nilai berupa bilangan (atau bisa tidak memiliki nilai), tetapi tidak dapat dinilai sebagai benar maupun salah.

Ekspresi Pernyataan
Nilainya adalah bilangan. Nilainya adalah benar-salah.

Kalimat terbuka aljabar

Jadi kamu sudah tahu bedanya ekspresi aljabar dengan pernyataan aljabar. Pernyataan selalu dapat dinilai benar atau salah. Namun kadang-kadang kita menghilangkan salah satu unsur bilangan dalam pernyataan menjadi variabel, sehingga kita tidak lagi dapat menentukan kebenaran kalimat tersebut. Ini disebut sebagai kalimat terbuka.

2 + 3 = 9 adalah salah.
2 + x = 9 belum diketahui benar-salahnya, karena variabel x perlu diganti bilangan terlebih dahulu.

Pernyataan maupun kalimat terbuka aljabar disebut sebagai kalimat aljabar.

Ekspresi Kalimat aljabar
Pernyataan Kalimat terbuka
8 × ×
8+19 × ×
8+19=6 × ×
8+19=43-1 × ×
x × ×
x+5 × ×
x+y-z × ×
x+y-z=6 × ×
x+y-z=y+x × ×

Pernyataan yang mengandung kalimat terbuka

Sebuah kalimat terbuka dapat dibuat menjadi pernyataan. Misalnya kalimat ini:

u + 0 = u

Kalimat di atas adalah sebuah kalimat terbuka, karena belum dapat ditentukan nilai kebenarannya diakibatkan adanya variabel u yang belum diganti.

Karena kita tahu bahwa sembarang bilangan real tidak akan berubah jika dijumlah dengan nol, berarti kalimat itu selalu benar (pernyataan). Namun perhatikan bahwa kalimat itu masih kalimat terbuka karena u belum diganti. Karena kita hendak mengatakan bahwa u dimaksudkan untuk diganti dengan sembarang bilangan real, maka kita menambahkan simbol A terbalik di depannya.

\forall u (u+0 = u)

Dengan menambahkan simbol tersebut, kalimat itu dibaca, Untuk semua nilai u, u+0 = u. Karena ini sudah pasti benar, maka kalimat tersebut tidak lagi merupakan kalimat terbuka, melainkan sebuah pernyataan.

Dalam penulisan aturan operasi bilangan real, kita tidak selalu menuliskan simbol ∀ tersebut, selama cukup jelas bahwa kalimat terbuka yang disebutkan berlaku untuk semua bilangan real.