Dua macam nama untuk hal yang sama
Yang manakah yang benar dari tiga pernyataan berikut?
0.999999\ldots > 1 0.999999\ldots = 1 0.999999\ldots < 1
Pertama, mari kita lihat bilangan rasional
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
9 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
0 | ||||||
1 | 0 | |||||
9 | ||||||
1 | 0 | |||||
9 | ||||||
1 | 0 | |||||
9 | ||||||
1 | 0 | |||||
9 | ||||||
1 |
Berarti, sekarang kita memiliki sebuah pernyataan yang kita yakini benar, yaitu:
atau
Seperti sebelumnya, selama digit 1 di belakang belum tak berhingga kali, maka nilainya hanyalah berupa pendekatan saja.
Berarti, jika 1 di belakang koma adalah sebanyak tak berhingga, berarti
nilainya benar-benar adalah
Sekarang kita juga memiliki algoritma perkalian. Perkalian yang kita lakukan adalah mengalikan setiap digit satu per satu.
0 . 1
9
————— ×
0 . 9
0 . 1 1
9
———————— ×
0 . 9 9
0 . 1 1 1
9
——————————— ×
0 . 9 9 9
Yang berarti ketika kita mengalikan 0.111... dengan 9, kita harus mengalikan tiap digitnya dengan 9. 0 dikali 9 adalah 0, 1 dikali 9 adalah 9, dan seterusnya.
0 . 1 1 1 1 1 ...
9
—————————————————————— ×
0 . 9 9 9 9 9 ...
Dengan demikian:
atau
Tetapi kita juga tahu bahwa
Berarti
Padahal, kita juga tahu bahwa
Berarti, mau tidak mau, kita harus simpulkan bahwa
atau
Langkah pembuktian di atas secara singkat dapat dituliskan sebagai berikut.
Kalikan kedua ruas dengan 9, didapat:
Ternyata keduanya sama!
0.99999... benar-benar adalah 1. Tepat. Bukan pendekatan. Bukan karena terlalu panjang untuk ditulis. Bukan karena selisihnya terlampau kecil sehingga diabaikan.
Tidak hanya bilangan 1, melainkan setiap bilangan rasional yang digitnya memiliki akhir, ternyata memiliki nama panjangnya masing-masing.
Pembuktian ini sebenarnya sudah cukup, tetapi kalau kamu perlu bukti yang lebih baik, kamu dapat membacanya di sini:
Pembuktian bahwa 0.(9...) = 1
Dalam pembagian bersusun, digit akan berulang jika sisa yang dihasilkan juga berulang. Misalnya dalam pembagian
5 | |||
3 | 1 | 7 | |
1 | 5 | ||
2 |
Dalam langkah berikutnya, kita menambahkan digit 0 sehingga sisa 2 menjadi bilangan 20, dan pembagian 20 dengan 3 adalah 6 sisa 2.
5 | 6 | |||
3 | 1 | 7 | 0 | |
1 | 5 | |||
2 | 0 | |||
1 | 8 | |||
2 |
Perhatikan bahwa langkah kedua ini memberikan sisa yang sama dengan langkah sebelumnya, yaitu 2. Dengan demikian, langkah berikutnya pasti akan menghasilkan hasil bagi yang sama, yaitu 6, dan sisa yang sama, yaitu 2.
5 | 6 | 6 | |||
3 | 1 | 7 | 0 | 0 | |
1 | 5 | ||||
2 | 0 | ||||
1 | 8 | ||||
2 | 0 | ||||
1 | 8 | ||||
2 |
Sekarang kita masuk ke pembuktiannya. Karena kita tidak perlu menghindari berasumsi terlebih dahulu bahwa
0 | 9 | 9 | 9 | ... | |
b | a |
Berarti langkah pertama haruslah menghasilkan 0 dengan sisa a.
0 | |||
b | a | ||
0 | |||
a |
Langkah kedua, baris sisa haruslah dikali 10 sehingga menjadi 10a.
0 | 9 | ||
b | a | 0 | |
0 | |||
10a |
Kemudian hasil baginya haruslah 9, yang berarti baris berikutnya adalah 9b.
0 | 9 | ||
b | a | 0 | |
0 | |||
10a | |||
9b |
Sisa bagi ini adalah 10a-9b.
0 | 9 | ||
b | a | 0 | |
0 | |||
10a | |||
9b | |||
10a-9b |
Namun ingat bahwa digit hasil pembagian berikutnya adalah 9, yaitu perulangan dari digit sebelumnya, yang berarti sisa baginya juga haruslah sesuai dengan sisa sebelumnya, yaitu a.
0 | 9 | 9 | ||
b | a | 0 | ||
0 | ||||
10a | ||||
9b | ||||
a |
Karena sebelumnya kita tahu bahwa sisa ini juga adalah
0 | 9 | 9 | ||
b | a | 0 | ||
0 | ||||
10a | ||||
9b | ||||
a = 10a-9b |
Ternyata, kesimpulannya adalah
Jadi kita mendapatkan bahwa
Berarti ini juga berarti:
QED
Logika dengan masuk akal berbeda
Kamu telah melihat pembuktian logis dari
Kita membangun cara berpikir kita sehari-hari di atas kemasuk-akalan. Hal yang tidak pernah kita lihat kita anggap tidak masuk akal. Wajar jika kita menganggap bahwa logis sama dengan masuk akal. Namun beberapa hal yang kita anggap tidak masuk akal itu ternyata dapat dibuktikan benar secara logis, seperti pada contoh di atas. Sehingga kamu perlu merevisi ulang pemahaman kamu mengenai dunia.
Sesuatu yang bisa dibuktikan secara logis tidak tentu membuat orang percaya. Oleh karena itu, kita perlu rendah hati mengakui keterbatasan pikiran kita, dan mulai bersedia belajar cara berpikir yang lebih logis.
Salah satu hal penting yang harus kamu dapatkan dalam belajar matematika adalah hal ini, bahwa logis tidak sama dengan masuk akal.
Ekspektasi dan realita
Mengapa orang bingung dengan hasil ini? Karena kita memiliki suatu
harapan bahwa sistem simbol yang kita pakai sempurna. Salah satu
kriteria kesempurnaan yang tidak kita sadari adalah bahwa satu nama
bilangan adalah untuk satu bilangan, dan sebaliknya, satu bilangan hanya
memiliki satu nama. Sedikit cacat
dalam sistem ini membuat kita merasa
risih dan tidak bersedia menerimanya.
Walaupun ini tampak sebagai alasan yang baik, tetapi sebenarnya kita tidak bersikap konsisten ketika kita menganut prinsip satu nama untuk satu bilangan
. Kita tidak keberatan bahwa
Aktivitas
Buatlah survei mengenai hal ini. Bisa melalui wawancara, atau menyebarkan angket. Lakukan survei pada sekitar 5 orang. Jika dalam kelasmu ada 20 orang, kamu akan mendapatkan total 100 orang.
Tanyakan pada orang-orang tersebut pernyataan yang menurut mereka benar (0.99.. kurang, sama, atau lebih dari 1), dan mintalah mereka menjelaskan alasannya.
Jelaskan pada mereka penjelasan logisnya, kemudian tanyakan apakah penjelasan tersebut mengubah pandangan mereka (tetap pada pendapat pertama atau berubah pikiran). Siapkan diri untuk didebat habis-habisan dan dianggap sebagai orang bodoh.
Rangkum hasil yang diperoleh oleh kelasmu, dan diskusikan hasilnya.
Berikan kesimpulan mengenai beberapa hal berikut.
- Apakah penjelasan logis selalu dapat meyakinkan orang?
- Apakah orang lebih mau mengikuti logika daripada intuisi maupun perasaannya?
Refleksi
Renungkanlah jawaban bagi pertanyaan-pertanyaan berikut.
Beberapa orang mengatakan bahwa kalau keberadaan Tuhan dapat dibuktikan secara logis, ia akan mau percaya. Bagaimanakah menurutmu klaim orang-orang tersebut, dihubungkan dengan hasil survei yang kamu lakukan?
Banyak konsep mengenai Tuhan yang tidak masuk akal kita. Apakah konsep-konsep yang tidak masuk akal menunjukkan bahwa konsep-konsep tersebut tidak logis dan tidak mungkin ada? Bagaimanakah hubungan hal ini dengan hasil survei yang kamu lakukan?
Sebaliknya, apakah kemasuk-akalan sesuatu serta-merta membuat sesuatu itu harus disimpulkan sebagai ada atau benar?
Kadang-kadang kita melihat perilaku dan sikap orang lain tidak masuk akal kita. Apakah orang itu aneh? Apakah orang itu tidak logis? Atau diri kita yang salah?
Latihan
Pertanyaan lanjutan
Perhatikan bahwa bilangan rasional dengan penyebut hanya mengandung angka 9 memiliki perulangan sesuai dengan banyaknya digit 9 tersebut. Misalnya
\frac{37}{99} = 0.373737\ldots dan\frac{1147}{999} = 1.148148148148\ldots . Berikan contoh 5 bilangan rasional lain yang penyebutnya hanya mengandung angka 9 dan berikan representasi desimalnya.Apakah hal sebaliknya dapat disimpulkan? Yaitu bahwa setiap bilangan rasional yang memiliki perulangan n-digit, pasti dapat dinyatakan dengan penyebut yang hanya terdiri dari angka 9? Jika ya, cobalah berikan argumen mengenai jawabanmu. Jika tidak, berikan contoh yang tidak sesuai dengan dugaan di atas, lalu dugalah aturannya.
Hitunglah
{1.01}^{1} ,{1.01}^{2} ,{1.01}^{3} , dan seterusnya. Amati pola yang muncul, dan dugalah aturan yang menghasilkan pola tersebut.Apakah 0 termasuk bilangan rasional? Mengapa?
Berikutnya: Bilangan irasional