Bilangan irasional

Apakah \sqrt{2} adalah bilangan irasional? Kita tidak dapat begitu saja mengatakan bahwa ini adalah bilangan rasional atau bukan. Kita perlu membuktikannya.

Sketsa pembuktian

Alih-alih membuktikan langsung bahwa \sqrt{2} bilangan irasional, kita akan mengandaikan bahwa \sqrt{2} adalah bilangan rasional. Setelah itu, kita akan menyelidiki konsekuensi dari pengandaian ini. Jika konsekuensinya mengandung kontradiksi, berarti pengandaian tersebut salah. Jika konsekuensinya konsisten dengan pengandaian ini, berarti kita perlu membuktikan menggunakan cara lain.

Tahap pertama: Pengandaian

Mari kita andaikan bilangan \sqrt{2} adalah bilangan rasional. Berarti bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai:

\sqrt{2} = \frac{a}{b}

dengan a dan b bilangan bulat.

Cukup aman untuk mengandaikan bahwa a dan b sama-sama bilangan bulat positif. Kalau keduanya negatif, kita dapat mengambil bentuk yang sudah disederhanakan dengan membagi pembilang maupun penyebut dengan -1. Keduanya pasti sama-sama positif karena hasilnya adalah \sqrt{2} yang juga positif. b juga tidak mungkin 1 karena jika b=1, berarti a=\sqrt{2}, dan kita tidak membuktikan apa-apa. Jadi hingga saat ini, syarat untuk a dan b adalah:

• a dan b bilangan bulat.
• a>1 dan b>1

Tahap 2: Konsekuensi

Mari kita ubah dulu bentuknya agar tidak mengandung pecahan:

\begin{aligned} \sqrt{2} &= \frac{a}{b} \\ b \sqrt{2} &= a \end{aligned}

Representasi faktor prima

Tentunya kamu ingat bahwa setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan sebagai dirinya sendiri maupun sebagai perkalian faktor-faktor primanya. Misalnya 6=2×3, 50=2×5², 1176=2³×3;×7². Bilangan 5, 2, dan 17 dapat dituliskan sebagai bilangan tunggal karena merupakan bilangan prima. Bilangan 1 juga cukup dituliskan sebagai bilangan tunggal, tetapi kita tidak perlu memikirkannya karena di luar syarat a maupun b yang telah ditentukan sebelumnya.

Kuadrat faktor prima

Berikut ini hal penting dari pemfaktoran bilangan prima, yang ada hubungannya dengan pembuktian kita. Ketika kita menyatakan suatu bilangan sebagai faktor prima, maka faktor prima bilangan kuadrat akan selalu memiliki pangkat genap.

\begin{aligned} 6 &= 2\times 3\\ 36 &= 4 \times 9\\ 6^2 &= 2^2 \times 3^2\\ \end{aligned} \begin{aligned} 1176 &= 2^3\times 3\times 7^2\\ 1176^2 &= 2^6 \times 3^2 \times 7^4\\ \end{aligned}

Karena kita belum tahu apakah a bilangan prima atau komposit, demikian juga b, kita andaikan lagi bahwa masing-masing dapat dinyatakan sebagai faktor primanya. Karena kita tidak tahu berapakah a maupun b, maka faktor primanya kita tulis sebagai rangkaian perkalian p untuk a, dan q untuk b.

\begin{aligned} a &= {p_1}^{u_1} \times {p_2}^{u_2} \times ... \times {p_m}^{u_m}\\ b &= {q_1}^{v_1} \times {q_2}^{v_2} \times ... \times {q_n}^{v_n} \end{aligned}

Yang berarti kuadrat dari masing-masing akan memiliki faktor prima berpangkat genap.

\begin{aligned} a^2 &= {p_1}^{2 u_1} \times {p_2}^{2 u_2} \times ... \times {p_m}^{2 u_m}\\ b^2 &= {q_1}^{2 v_1} \times {q_2}^{2 v_2} \times ... \times {q_n}^{2 v_n} \end{aligned}

Sekarang kalau kita kuadratkan bentuk sebelumnya, yang terjadi ialah:

\begin{aligned} b \sqrt{2} &= a \\ \left(b \sqrt{2}\right)^2 &= a^2 \\ 2b^2 &= a^2\\ \end{aligned}

Hasil ini menunjukkan bahwa a² haruslah mengandung faktor 2, karena ruas kiri mengandung faktor 2. Namun, karena ruas kanan berbentuk a², berarti faktor 2 di sebelah kanan haruslah berpangkat genap.

\begin{aligned} 2b^2 &= a^2\\ 2b^2 &= 2^{genap} \times ? \end{aligned}

Sekarang kita lihat ruas kiri. b² kita tidak tahu mengandung faktor 2 atau tidak, tetapi seandainya ada, faktor 2 dalam b² pastilah berpangkat genap. Karena ruas kiri adalah b² dikali 2, berarti ruas kiri secara keseluruhan mengandung faktor 2 dengan pangkat ganjil.

\begin{aligned} 2b^2 &= a^2\\ 2\times 2^{genap} \times ? &= a^2\\ 2^{ganjil}\times ? &= a^2 \end{aligned}

Dari sini berarti ruas kiri mengandung faktor 2 dengan pangkat ganjil, dan ruas kanan mengandung faktor 2 dengan pangkat genap. Tidak bisa demikian, karena keduanya harus sama. Jadi hasil ini kontradiktif.

\begin{aligned} 2^{ganjil}\times ? &= a^2 \\ 2^{ganjil}\times ? &= 2^{genap}\times ? \\ \end{aligned}

Karena kontradiktif, berarti asumsi awal yang kita buat adalah salah, yaitu bahwa \sqrt{2} adalah bilangan rasional. Karena asumsi tersebut salah, kesimpulannya adalah \sqrt{2} merupakan bilangan irasional.

QED.