Pembuktian bahwa 0.(9...) = 1

Yang benar saja! Masa 0.(9...) sama dengan 1?

Dalam pembagian bersusun, digit akan berulang jika sisa yang dihasilkan juga berulang. Misalnya dalam pembagian \frac{17}{3} seperti di bawah ini. Dalam langkah pembagian pertama, kita mendapati bahwa 17 dibagi 3 adalah 5 sisa 2.

		5
3	1	7
	1	5
		2

Dalam langkah berikutnya, kita menambahkan digit 0 sehingga sisa 2 menjadi bilangan 20, dan pembagian 20 dengan 3 adalah 6 sisa 2.

		5	6
3	1	7	0
	1	5
		2	0
		1	8
			2

Perhatikan bahwa langkah kedua ini memberikan sisa yang sama dengan langkah sebelumnya, yaitu 2. Dengan demikian, langkah berikutnya pasti akan menghasilkan hasil bagi yang sama, yaitu 6, dan sisa yang sama, yaitu 2.

		5	6	6
3	1	7	0	0
	1	5
		2	0
		1	8
			2	0
			1	8
				2

Sekarang kita masuk ke pembuktiannya. Karena kita tidak perlu menghindari berasumsi terlebih dahulu bahwa 0.\overline{9}=1, maka kita misalkan bahwa 0.999... = \frac{a}{b}. Sehingga pembagiannya akan berbentuk:

	0	9	9	9	...
b	a

Berarti langkah pertama haruslah menghasilkan 0 dengan sisa a.

	0
b	a
	0
	a

Langkah kedua, baris sisa haruslah dikali 10 sehingga menjadi 10a.

	0	9
b	a	0
	0
	10a

Kemudian hasil baginya haruslah 9, yang berarti baris berikutnya adalah 9b.

	0	9
b	a	0
	0
	10a
	9b

Sisa bagi ini adalah 10a-9b.

	0	9
b	a	0
	0
		10a
		9b
		10a-9b

Namun ingat bahwa digit hasil pembagian berikutnya adalah 9, yaitu perulangan dari digit sebelumnya, yang berarti sisa baginya juga haruslah sesuai dengan sisa sebelumnya, yaitu a.

	0	9	9
b	a	0
	0
		10a
		9b
		a

Karena sebelumnya kita tahu bahwa sisa ini juga adalah 10a-9b, berarti:

	0	9	9
b	a	0
	0
		10a
		9b
		a = 10a-9b

\begin{aligned} a &= 10a - 9b\\ 10a-9b &= a\\ 10a-a-9b&=0\\ 10a-a&=9b\\ 9a&=9b\\ a&=b\\ \end{aligned}

Ternyata, kesimpulannya adalah a haruslah sama dengan b. Berarti untuk a=5, b juga harus sama dengan 5, untuk a=10, b juga harus sama dengan 10, dan seterusnya. a dan b tidak mungkin 0 karena pembagian ini haruslah terdefinisi (karena ada hasilnya). Dengan demikian:

\begin{aligned} a &= b\\ \frac{a}{b} &= \frac{a}{a}\\ &= 1\\ \end{aligned}

Jadi kita mendapatkan bahwa \frac{a}{b} = 1. Karena kita berangkat dari pengandaian bahwa:

0.\overline{9} = \frac{a}{b}

Berarti ini juga berarti:

0.\overline{9} = 1

QED