Kombinatorika : Seluk beluk susunan objek

Dalam serial Korea My Secret Terius (내 뒤에 테리우스) terdapat adegan Go Ae-rin (diperankan oleh Jung In Sun) berusaha membongkar kode ruang rahasia untuk penyimpanan tas milik atasannya.

Ruang penyimpanan tas tersebut dikunci menggunakan kunci elektronik yang berupa papan ketik dengan tombol 0 hingga 9. Kode untuk masuk ruangan merupakan rangkaian yang terdiri dari 4 angka. Simbol * dan # yang juga terdapat pada papan ketik yang sama tidak digunakan untuk kode.

Go Ae-rin berusaha menebak rangkaian tersebut. Angka sepuluh digit, gumamnya. Satu angka bisa muncul berkali-kali, ada urutan empat digit. Sepuluh pangkat empat, 10.000.

Ia benar. Ada 10.000 kemungkinan kode. Cobalah pikirkan terlebih dahulu bagaimana kira-kira ia dapat menyimpulkan bahwa terdapat 10.000 kemungkinan kode. Kamu juga dapat melihat penjelasannya melalui boks di bawah ini, tetapi pastinya akan jauh lebih seru jika kamu mencoba memikirkannya terlebih dahulu.

Terlalu banyak, gumam Go Ae-rin lagi. Ia benar. Menebak satu dari 10.000 kemungkinan adalah terlalu banyak! Kodenya bisa 1234, 5913, 2169, dan lain sebagainya dari 0000 hingga 9999. Namun Go Ae-rin punya akal yang brilian.

Setidaknya ia dapat mereduksi jumlah kemungkinan yang terlalu banyak tersebut jika ia tahu angka apa saja yang ditekan. Misalnya ia tahu angka yang ditekan adalah 3,4,7, dan 9, berarti kode yang mungkin adalah 3479, 3497, 3749, dan seterusnya. Walaupun masih banyak, tetapi jumlah kemungkinannya pasti jauh lebih sedikit daripada jika ia harus menebak 10.000 kemungkinan dari 0000 hingga 9999.

Untuk itu Go Ae-rin membubuhkan bedak pada papan tersebut, dengan harapan ketika keesokan harinya atasannya menginput kode kunci tersebut, jarinya akan meninggalkan jejak pada angka-angka tertentu hingga memudahkannya untuk menebak kode yang tepat.

Usahanya membuahkan hasil. Hari berikutnya ia melihat terdapat jejak penekanan tombol pada beberapa tombol. Namun ternyata hanya 3 angka yang ditekan: 2, 8, dan 9.

Apa? Tiga? Mengapa hanya ada tiga? gumamnya. Berarti ia menekan salah satu angka dua kali. Ia benar. Artinya ada satu angka yang ditekan dua kali. Entah 2, entah 8, atau 9.

Sebuah kode empat digit yang hanya memakai tiga angka. Coba lihat. Ia mulai mendaftarkan semua kemungkinan bagi kode yang digunakan. 2289, 2298, 2889, 2899, dan seterusnya. Berapa ya total kemungkinan maksimum yang harus didaftarkan oleh Go Ae-rin? Dapatkah kamu menghitungnya? Oh ya, mengapa ya pertanyaan sebelumnya adalah total kemungkinan maksimum, alih-alih kemungkinan yang harus dicoba?

Dengan mendaftarkan setiap kemungkinan, Go Ae-rin dapat mencobanya satu per satu hingga berhasil. Film ini sangat bagus dan menarik, jadi silakan sempatkan dirimu untuk menontonnya. Saya tidak akan membahas filmnya di sini.

Matematika apakah yang digunakan Go Ae-rin?

Nah, kamu barusan mengikuti proses pemecahan persoalan yang dilakukan oleh Go Ae-rin dalam film tersebut. Go Ae-rin memecahakan persoalannya menggunakan matematika yang disebut sebagai kombinatorika.

• Ia mengenali persoalan yang ia hadapi sebagai persoalan kombinatorika.
• Ia menghitung ruang kemungkinan yang harus ia hadapi untuk menebak salah satunya. Ia menggunakan sebuah prinsip yang disebut sebagai aturan perkalian untuk menentukan ruang kemungkinan tersebut.
• Ia mereduksi ruang kemungkinan tersebut hingga lebih terjangkau dengan sumber daya yang ia miliki, yaitu waktu. Proses ini disebut sebagai optimasi.
• Ia menyimpulkan bahwa harus ada satu angka yang diulang dari tiga angka yang ia hadapi. Ini disebut sebagai prinsip rumah burung (pigeonhole principle).
• Ia mendaftarkan kode-kode yang mungkin dengan algoritma pendaftaran tertentu yang menjamin bahwa daftar yang ia buat lengkap tetapi tidak berlebihan (memuat kode yang sama dua kali).

Hal-hal yang dilakukan oleh Go Ae-rin ini dipelajari secara mendalam dalam bidang matematika kombinatorika.

Apa itu kombinatorika?

Kombinatorika adalah studi dalam matematika mengenai susunan objek. Objek yang dimaksud bisa angka seperti pada permasalahan yang dihadapi Go Ae-rin, tetapi tidak harus demikian. Objek yang lain juga dapat dibicarakan. Misalnya warna, roti, ubin, manusia, bahkan objek abstrak seperti pemikiran, konsep, dan sebagainya.

Matematika mensyaratkan abstraksi. Jadi makna objek tidak terikat pada satu jenis objek tertentu. Selama kita dapat membuat susunan bagi objek tersebut, hal itu termasuk dalam studi kombinatorika.

Pertanyaan-pertanyaan yang diajukan dalam kombinatorika di antaranya adalah:

• Bagaimana cara menyusun sejumlah objek sesuai syarat-syarat yang diberikan? Bagaimana memastikan bahwa cara penyusunan itu sudah mencakup semuanya dan berbeda satu sama lain?

• Bagaimana cara menomori urutan kemungkinan-kemungkinan susunan sejumlah objek?

• Berapakah banyaknya cara sejumlah objek dapat disusun dengan kriteria tertentu?

• Apakah dua algoritma penyusunan adalah ekivalen satu sama lain?

Agar lebih jelas mengenai sejumlah permasalahan yang dibicarakan dalam kombinatorika, mari kita lihat sejumlah contoh dalam bagian berikutnya.

Berikutnya: Permasalahan-permasalahan kombinatorika