Himpunan kuasa

Misalkan kita memiliki sebuah himpunan A.

A = \{ pisang, coklat, keju\}

Himpunan kuasa dari A adalah himpunan yang isinya adalah semua kemungkinan himpunan bagian dari A. Apa sajakah himpunan bagian dari A? Daftarnya adalah sebagai berikut:

\begin{aligned} \left\{ \right\} &\subset A \\ \left\{ pisang \right\} &\subset A \\ \left\{ coklat \right\} &\subset A \\ \left\{ keju \right\} &\subset A \\ \left\{ pisang,\ coklat \right\} &\subset A \\ \left\{ pisang,\ keju \right\} &\subset A \\ \left\{ keju,\ coklat \right\} &\subset A \\ \left\{ pisang,\ coklat,\ keju \right\} &\subseteq A \\ \end{aligned}

Tidak ada himpunan lain yang merupakan himpunan bagian dari A. Tentu saja kita dapat membalik urutannya, misalnya \{ coklat,\ pisang\}, tetapi himpunan tersebut adalah sama dengan \{ pisang,\ coklat \}.

Himpunan kuasa dari A, disimbolkan \wp\left( A \right) adalah himpunan dari himpunan-himpunan bagian tersebut.

\wp\left( A \right) = \begin{Bmatrix} \varnothing, \\ \left\{ pisang \right\},\ \left\{ coklat \right\},\left\{ keju \right\}, \\ \ \left\{ pisang,\ coklat \right\},\ \left\{ pisang,\ keju \right\}, \\ \left\{ keju,coklat \right\}, \\ \{ pisang,\ coklat,keju\} \\ \end{Bmatrix}

Yang banyak anggotanya adalah 8. Secara umum, banyaknya anggota himpunan kuasa adalah:

\left| \wp\left( A \right) \right| = 2^{\left| A \right|}

Bagaimana kita dapat memperoleh rumus tersebut?

Kita dapat menyatakan himpunan kuasa A menggunakan tabel berikut.

CoklatKejuPisang
×××
××
××
××
×
×
×

Apa artinya? Tanda menunjukkan bahwa unsur pada kolom tersebut dipakai. Baris dengan tanda pada kolom coklat dan keju mewakili himpunan { coklat, keju}, dan seterusnya.

CoklatKejuPisangarti
0×××
1× ×{ coklat }
2××{ keju }
3×× { pisang }
4×{ coklat, keju }
5× { coklat, pisang }
6× { keju, pisang }
7{ coklat, keju, pisang }

Jadi, setiap himpunan bagian dari A dapat diwakili oleh rangkaian simbol ✓ dan × seperti di bawah ini.

coklatkejupisang
××

Berapakah kemungkinan susunan simbol dan yang dapat kita buat?

Pada tempat pertama, kita memiliki 2 kemungkinan, yaitu ✓ atau ×. Demikian juga pada tempat kedua dan ketiga.

{✓,×}{✓,×}{✓,×}
222

Dengan menggunakan aturan perkalian, kita dapat menghitung bahwa kemungkinan susunan tersebut adalah:

2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3} = 8

Dengan mudah hal ini dapat digeneralisasikan untuk himpunan yang lebih banyak anggotanya. Misalnya, untuk himpunan B = {a, b, c, d}, banyak anggota himpunan kuasanya adalah 2^{4} = 16. Dan seterusnya.

Latihan

  1. Diberikan sebuah himpunan A={p, q, r}, daftarkan semua himpunan bagian dari A.

  2. Diberikan sebuah himpunan B={1, 2, 3, 4, 5}, tentukan \wp\left( B \right) dengan bantuan tabel.

  3. Apakah hubungan himpunan kuasa dengan tabel kebenaran?

  4. Apakah hubungan himpunan kuasa dengan bilangan biner?

Berikutnya: Kombinasi sebagai himpunan

Ditulis oleh
Ari Prasetyo
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
kombinatorika himpunan kuasa