Himpunan kuasa

Misalkan kita memiliki sebuah himpunan A.

A = \{ pisang, coklat, keju\}

Himpunan kuasa dari A adalah himpunan yang isinya adalah semua kemungkinan himpunan bagian dari A. Apa sajakah himpunan bagian dari A? Daftarnya adalah sebagai berikut:

\begin{aligned} \left\{ \right\} &\subset A \\ \left\{ pisang \right\} &\subset A \\ \left\{ coklat \right\} &\subset A \\ \left\{ keju \right\} &\subset A \\ \left\{ pisang,\ coklat \right\} &\subset A \\ \left\{ pisang,\ keju \right\} &\subset A \\ \left\{ keju,\ coklat \right\} &\subset A \\ \left\{ pisang,\ coklat,\ keju \right\} &\subseteq A \\ \end{aligned}

Tidak ada himpunan lain yang merupakan himpunan bagian dari A. Tentu saja kita dapat membalik urutannya, misalnya \{ coklat,\ pisang\}, tetapi himpunan tersebut adalah sama dengan \{ pisang,\ coklat \}.

Himpunan kuasa dari A, disimbolkan \wp\left( A \right) adalah himpunan dari himpunan-himpunan bagian tersebut.

\wp\left( A \right) = \begin{Bmatrix} \varnothing, \\ \left\{ pisang \right\},\ \left\{ coklat \right\},\left\{ keju \right\}, \\ \ \left\{ pisang,\ coklat \right\},\ \left\{ pisang,\ keju \right\}, \\ \left\{ keju,coklat \right\}, \\ \{ pisang,\ coklat,keju\} \\ \end{Bmatrix}

Yang banyak anggotanya adalah 8. Secara umum, banyaknya anggota himpunan kuasa adalah:

\left| \wp\left( A \right) \right| = 2^{\left| A \right|}

Bagaimana kita dapat memperoleh rumus tersebut?

Kita dapat menyatakan himpunan kuasa A menggunakan tabel berikut.

CoklatKejuPisang
×××
××
××
××
×
×
×

Apa artinya? Tanda menunjukkan bahwa unsur pada kolom tersebut dipakai. Baris dengan tanda pada kolom coklat dan keju mewakili himpunan { coklat, keju}, dan seterusnya.

CoklatKejuPisangarti
0×××
1× ×{ coklat }
2××{ keju }
3×× { pisang }
4×{ coklat, keju }
5× { coklat, pisang }
6× { keju, pisang }
7{ coklat, keju, pisang }

Jadi, setiap himpunan bagian dari A dapat diwakili oleh rangkaian simbol ✓ dan × seperti di bawah ini.

coklatkejupisang
××

Berapakah kemungkinan susunan simbol dan yang dapat kita buat?

Pada tempat pertama, kita memiliki 2 kemungkinan, yaitu ✓ atau ×. Demikian juga pada tempat kedua dan ketiga.

{✓,×}{✓,×}{✓,×}
222

Dengan menggunakan aturan perkalian, kita dapat menghitung bahwa kemungkinan susunan tersebut adalah:

2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3} = 8

Dengan mudah hal ini dapat digeneralisasikan untuk himpunan yang lebih banyak anggotanya. Misalnya, untuk himpunan B = {a, b, c, d}, banyak anggota himpunan kuasanya adalah 2^{4} = 16. Dan seterusnya.

Latihan

  1. Diberikan sebuah himpunan A={p, q, r}, daftarkan semua himpunan bagian dari A.

  2. Diberikan sebuah himpunan B={1, 2, 3, 4, 5}, tentukan \wp\left( B \right) dengan bantuan tabel.

  3. Apakah hubungan himpunan kuasa dengan tabel kebenaran?

  4. Apakah hubungan himpunan kuasa dengan bilangan biner?

Ditulis oleh
Ari Prasetyo
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
kombinatorika himpunan kuasa