Menghitung banyak kombinasi

Secara umum, kita dapat menghitung banyaknya kombinasi menggunakan cara yang sama. Kombinasi k dari n unsur berarti dari himpunan berisi n anggota akan ditarik himpunan bagiannya yang masing-masing terdiri dari k anggota. Berarti, dalam bentuk tabel, akan ada k tanda dan (n-k) tanda .

Berdasarkan aturan bagi permutasi yang mengandung unsur sama, rumus kombinasi dapat disimpulkan menjadi:

C\left( n,k \right) = \frac{n!}{k!\left( n - k \right)!}

Rumus di atas memiliki sejumlah alternatif penulisan:

C\left( n,k \right) = C_{k}^{n} =_{n}^{}C_{k}^{} = \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}

Contoh

Tanpa mendaftar, hitunglah banyaknya kombinasi 4 dari himpunan {a, b, c, d, e, f, g}.

Himpunan {a, b, c, d, e, f, g} memiliki 7 anggota. Karena itu, banyaknya kombinasi 4 adalah:

\begin{aligned} C\left( 7,\ 4 \right) &= \frac{7!}{4!3!}\\ &= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6}\\ &= 7 \cdot 5\\ &= 35 \end{aligned}

Banyaknya kombinasi 4 dari himpunan {a, b, c, d, e, f, g} adalah 35.

Latihan

Diberikan sebuah himpunan B={a, b, c}, daftarkan semua himpunan bagian dari A yang:
1. Tidak memiliki anggota.
2. Memiliki 1 anggota.
3. Memiliki 2 anggota.
4. Memiliki 3 anggota.
Diberikan sebuah himpunan C={a, b, c, d}, daftarkan semua himpunan bagian dari A yang:
1. Tidak memiliki anggota.
2. Memiliki 1 anggota.
3. Memiliki 2 anggota.
4. Memiliki 3 anggota.
5. Memiliki 4 anggota.
Diberikan himpunan P={x, y, z, t}, tentukan:
1. Kombinasi 0 dari P.
2. Kombinasi 1 dari P.
3. Kombinasi 2 dari P.
4. Kombinasi 3 dari P.
5. Kombinasi 4 dari P.
Diberikan himpunan Z={a, b, c, d, e}, tentukan:
1. Banyaknya kombinasi 0 dari Z.
2. Banyaknya kombinasi 1 dari Z.
3. Banyaknya kombinasi 2 dari Z.
4. Banyaknya kombinasi 3 dari Z.
5. Banyaknya kombinasi 4 dari Z.
6. Banyaknya kombinasi 5 dari Z.

Dari 12 orang siswa hendak dipilih 7 untuk menjalankan piket kelas. Berapa banyak kemungkinan susunan siswa yang terpilih? Seandainya yang dipilih adalah 5, berapakah kemungkinannya? Apakah hubungan jawaban pertama dengan kedua? Jelaskan mengapa terjadi hubungan sedemikian.
Apakah perbedaan kombinasi dengan permutasi? Bagaimanakah ciri permasalahan yang dapat dikategorikan sebagai masalah permutasi, dan bagaimanakah ciri permasalahan yang dapat dikategorikan sebagai masalah kombinasi?
Tunjukkan bahwa C\left( n,k \right) = C\left( n,\ n - k \right)
Buktikan bahwa: C\left( n - 1,\ k - 1 \right) + C\left( n - 1,\ k \right) = C\left( n,\ k \right)
Buktikan bahwa: \sum_{k = 0}^{n}{C\left( n,k \right)} = 2^{n}

Berikutnya: Masalah Komposisi