Masalah Komposisi

Marni menjual lima kue: Lemper, klepon, dadar gulung, lidah kucing, dan sagu keju. Lemper, klepon dan dadar gulung termasuk sebagai kue basah, sementara lidah kucing dan sagu keju adalah kue kering.

Joni membeli tiga dari lima kue tersebut. Apa saja yang dapat Joni beli? Dengan menggunakan prinsip kombinasi, kita dapat mendaftarkan kemungkinan kue yang dapat dibeli oleh Joni.

	Lemper	Klepon	Dadar gulung	Lidah kucing	Sagu keju
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Terlihat ada 10 macam kue yang dapat dibeli oleh Joni, dapat dihitung dengan:

C_{3}^{5} = \frac{5!}{3!2!} = 10

Kelima kue yang dijual Marni dibagi dalam dua kategori, yaitu kue basah dan kue kering. Sehingga pilihan Joni dapat kita kategorikan sebagai:

	Lemper	Lidah kucing	Komposisi
1			3 basah
2			2 basah, 1 kering
3			2 basah, 1 kering
4			2 basah, 1 kering
5			2 basah, 1 kering
6			1 basah, 2 kering
7			2 basah, 1 kering
8			2 basah, 1 kering
9			1 basah, 2 kering
10			1 basah, 2 kering
	kue basah	kue kering

Ternyata, terdapat:

1 macam kemungkinan Joni membeli 3 kue basah
6 macam kemungkinan Joni membeli 2 kue basah dan 1 kue kering,
3 macam kemungkinan Joni membeli 1 kue basah dan 2 kue kering.

Kita simbolkan ketiga kondisi tersebut dengan B dan K.

\begin{aligned} \left| \ 3B \right| = 1\\ \left| 2B1K \right| = 6\\ \left| 1B2K \right| = 3 \end{aligned}

Harus berlaku bahwa:

3B \cup 2B1K \cup 1B2K = S

Sehingga:

Kasus Joni membeli 3 kue basah dapat dihitung dengan kombinasi 3 kue dari 3 kue, yaitu:

\left| 3B \right| = C_{3}^{3} = \frac{3!}{3!0!\ } = 1

Kasus Joni membeli 2 kue basah dan 1 kue kering dapat diuraikan sebagai kombinasi 2 kue basah dari total 3 kue basah, dan kombinasi 1 kue kering dari total 2 kue kering.

\begin{aligned} \left| 2B1K \right| &= C_{2}^{3} \cdot C_{1}^{2}\\ &= \frac{3!}{2!1!} \cdot \frac{2!}{1!1!}\\ &= 3 \cdot 2\\ &= 6 \end{aligned}

Demikian juga dengan kasus 1 kue basah dan 2 kue kering.

\begin{aligned} \left| 1B2K \right| &= C_{1}^{3} \cdot C_{2}^{2}\\ &= \frac{3!}{1!2!} \cdot \frac{2!}{2!0!}\\ &= 3 \cdot 1\\ &= 3 \end{aligned}

Hasilnya sesuai dengan tabel sebelumnya.

Latihan

Sebuah kantong berisi 5 bola merah yang berbeda dan 3 bola biru yang berbeda. Bomi mengambil secara acak 3 bola. Tentukan banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi jika diketahui bahwa yang terambil oleh Bomi adalah:
1. Semuanya biru.
2. Semuanya merah.
3. Tidak mengandung bola merah.
4. Terdiri dari 2 bola merah dan 1 bola biru.
5. Terdiri dari 1 bola merah dan 2 bola biru.
6. Terdiri dari 2 bola merah dan 1 bola biru, atau 1 bola merah dan 2 bola biru.
7. Mengandung 1 bola merah saja atau 1 bola biru saja.
8. Mengandung 1 bola merah atau 1 bola biru.
9. Mengandung 1 atau 2 bola merah saja.
10. Mengandung sedikitnya 2 bola merah.
11. Mengandung sedikitnya 1 bola biru.
12. Mengandung paling banyak 2 bola merah.
13. Mengandung paling banyak 1 bola biru.
14. Mengandung lebih dari 1 bola biru.
Dalam soal sebelumnya, apakah perbedaan soal G dan H?
Sebuah kotak berisi 19 bola yang berbeda, terdiri dari 8 bola merah, 6 bola biru, dan 5 bola kuning. Cika mengambil secara acak 5 bola. Tentukan banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi dengan syarat:
1. Kelimanya kuning.
2. Kelimanya merah.
3. Mengandung sedikitnya 3 merah.
4. Mengandung sedikitnya 1 biru.
5. Mengandung merah dan kuning.
6. Mengandung warna merah atau kuning.
7. Mengandung 1 merah saja atau 1 biru saja.
8. Tidak mengandung warna biru maupun kuning.
9. Tidak mengandung warna biru atau warna merah.
Sipit dan Odol sama-sama mengerjakan soal seperti ini:
Diberikan 3 bola merah dan 4 bola biru. Jika diambil 4 bola sekaligus, tentukan kemungkinan yang diambil mengandung paling sedikit 2 bola merah.
Cara Sipit:
Minimal 2 merah, berarti bisa 2 merah 2 biru, atau 3 merah 1 biru. Berarti C(3,2)C(4,2) + C(3, 3)C(4,1). Hasilnya 22.
Cara Odol:
Karena 2 pasti merah, berarti C(3,2). Sisanya masih ada 5 bola, berarti harus dikalikan C(5,2). Hasilnya 30.
Mengapa kedua cara tersebut hasilnya berbeda? Yang mana yang benar? Di mana letak kesalahannya?