Faktorial

Kita dapat menyingkat penulisan bagi perhitungan semacam ini menggunakan faktorial, disimbolkan sebagai tanda seru (!), dibaca sebagai faktorial. Misalnya, 8! dibaca sebagai 8 faktorial.

n! = n\ \left( n - 1 \right)\ \left( n - 2 \right)\ldots 1

Contoh

Hitunglah 5!

5! berarti perkalian bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 5.

\begin{aligned} 5! &= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\\ 5! &= 120 \end{aligned}

Contoh

Hitunglah \frac{12!}{9!}

12! adalah perkalian bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 12.

12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

Sementara 9! adalah perkalian bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 9.

9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

Kamu dapat menghitung 12! dan 9!, kemudian membagi hasilnya. Namun cara ini sangat repot (kalau tidak percaya silahkan mencoba).

Ada cara yang lebih mudah, yaitu dengan membagi suku-suku yang sama.

\frac{12!}{9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}

Perhatikan bahwa pembilang dan penyebut sama-sama mengandung faktor 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1, yang dapat kita bagi terlebih dahulu.

\begin{aligned} \frac{12!}{9!} &= 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &= 12 \cdot 11 \cdot 10\\ &= 1320 \end{aligned}

Mudah dan cepat.

Latihan

Buktikan bahwa n! = n\ \times \left( n - 1 \right)!
Definisi faktorial dapat diperluas untuk nol, dengan 0! = 1. Tunjukkan bahwa 0! haruslah bernilai 1 berdasarkan nomor sebelumnya.
Tunjukkan bahwa hasilkali k bilangan bulat berurutan habis dibagi k!
Buktikan bahwa \frac{\left( a + b \right)!}{a!b!} selalu merupakan bilangan asli untuk a dan b bilangan asli.

Berikutnya: Permutasi sebagian