Permutasi dengan unsur-unsur identik

Kata BAU dapat dipermutasikan dengan 6 cara.

BAU BUA, ABU, AUB, UAB, UBA

Bagaimana dengan BAA? BAA hanya memiliki 3 kemungkinan.

BAA ABA AAB

Tanpa mendaftar, bisakah kita mengetahui bahwa BAA hanya memiliki 3 kemungkinan permutasi?

Dalam permutasi-permutasi sebelumnya, kita membicarakan kasus-kasus yang unsurnya berbeda. Sekarang kita berhadapan dengan kasus yang mengandung unsur yang sama.

Strategi Berpikir

Kita akan mereduksi masalah ini menjadi masalah sebelumnya. Mari kita andaikan bahwa kedua huruf A tersebut berbeda: BA1A2. Permutasi dari BA1A2 adalah:

BA1A2 BA2A1

A1BA2 A2BA1

A1A2B A2A1B

Totalnya berjumlah 6, sesuai pengertian sebelumnya. Ada 3 huruf dipermutasikan seluruhnya, berarti banyak kemungkinannya adalah 3×2×1 = 6.

Tetapi kalau kita anggap kedua A tersebut sama, kita harus membagi 6 dengan banyaknya permutasi huruf A1 dan A2, yaitu 2. Berarti banyaknya permutasi BAA adalah 6 dibagi 2, yaitu 3.

Contoh

Hitunglah banyaknya permutasi dari AABBBCCCC.

Secara keseluruhan, jika dianggap huruf-huruf dalam AABBBCCCC berbeda, permutasinya pasti berjumlah 9!.

Karena terdapat 2 huruf A, berarti ada 2! cara huruf A dipermutasikan. Karena itu, 9! harus dibagi dengan 2!.

Kemudian, terdapat 3 huruf B, berarti ada 3! cara B dipermutasikan jika dianggap berbeda. Karena itu, hasil sebelumnya harus dibagi dengan 3!.

Terdapat juga 4 huruf C, berarti ada 4! cara C dipermutasikan jika dianggap berbeda. Maka hasil sebelumnya harus dibagi lagi dengan 4!.

Jadi banyaknya permutasi AABBBCCCC adalah:

\begin{aligned} \frac{9!}{2!3!4!} &= \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &= \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \boxed{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \boxed{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\\ &= \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \boxed{6} \cdot 5}{2 \cdot 1 \cdot \boxed{3 \cdot 2} \cdot 1}\\ &= \frac{9\ \cdot \boxed{8} \cdot 7 \cdot 5}{\boxed{2}}\\ &= 9 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 5\\ &= 1260 \end{aligned}

Terdapat 1260 macam permutasi AABBBCCCC.

Latihan

  1. Dengan kalimatmu sendiri, jelaskan cara menghitung permutasi dengan unsur yang sama.

  2. Hitunglah banyaknya permutasi dari kata-kata berikut:

    1. ZIIING
    2. MINIDORA
    3. JONIANDREAN
  3. Nyatakan banyaknya permutasi dari masing-masing kata berikut dalam bentuk faktorial.

    1. BANGTANBOYS
    2. CANDRADIMUKA
    3. PRAMOEDYAANANTATOER
  4. Sebuah untai DNA mengandung urutan AAGGCAAATTT. Jika untai tersebut disusun ulang, ada berapa banyak cara menyusun ulang untai tersebut?

Ditulis oleh
Ari Prasetyo
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
kombinatorika permutasi