Pernyataan-pernyataan yang tak dapat dibuktikan benar maupun salah

Sistem mengungu yang kita bahas sebelumnya adalah sistem yang komplet. Artinya, semua pernyataan yang dibuat dalam sistem itu bisa dibuktikan benar (proven) maupun salah (disproven).

Namun ada sistem-sistem yang tidak bersifat seperti itu. Sistem-sistem ini memungkinkan untuk kita membuat pernyataan yang tak dapat dibuktikan benar maupun salah. Istilah yang digunakan oleh matematikawan adalah undecidable statements.

Sebagai contoh, sistem sederhana berikut ini, yang kita namakan sistem V.

Relasi v(x, y) dengan domain D = {0, 1, 2}.

A1

v(0,1)

A2

v(0, 2)

R1

\forall x \in D: \forall y \in D: v(x, y) \implies \neg v(y, x)

Kita bisa memperoleh sejumlah teorema. Buktinya tidak dituliskan di sini, supaya gurumu bisa menjadikannya PR untukmu.

T1

\neg v(0, 0)

T2

\neg v(1, 1)

T3

\neg v(2, 2)

T4

\neg v(1, 0)

T5

\neg v(2, 0)

Sistem di atas akan membentuk graf:

Sekarang kita akan mencoba menjawab pertanyaan berikut ini: Apakah v(1,2)?

Mari kita coba pembuktian langsung.

Seandainya kita tahu v(2,1), kita dapat menyimpulkannya secara langsung. Tapi kita harus bisa menjawab terlebih dahulu pertanyaan apakah v(2, 1). Mari kita coba menjawabnya.

Nah! Ternyata agar kita dapat menjawab apakah v(2, 1) kita memerlukan informasi mengenai v(1, 2). Mari kita coba mencarinya.

Lho! Ini kan sudah? Kita hanya berputar-putar saja ternyata. Kalau begitu, mari kita coba dari aksioma atau teorema lainnya.

Kita hanya mendapat kesimpulan \neg v(1,0), dan tidak dapat melanjutkannya hingga mendapat v(1,2) maupun v(2,1).

Jadi bagaimana?

Teknik pembuktian yang telah kita pelajari sebelumnya adalah pembuktian di dalam sistem. Masih ingatkah kamu akan Sistem-MIU (Bab Hakikat Matematika)? Dalam sistem tersebut, kita bisa berusaha menjawab pertanyaan, Apakah MU bisa diperoleh dari MI? dan kita berputar-putar dengan deduksinya.

Alih-alih melihat sistem dari dalam sistem itu sendiri, kita dapat melihat dari luar sistem. Kita bisa melihat bahwa kedua graf berikut tidak konsisten satu sama lain, tetapi masing-masing cocok dengan aksioma dan aturan sistem tersebut.

	0	1	2
0	T1	A1	A2
1	T4	T2	t6
2	T5	a3	T3

	0	1	2
0	T1	A1	A2
1	T4	T2	a3
2	T5	t6	T3

Dalam kedua graf, aksioma dan teoremanya sama, kecuali untuk a3 dan t6.

Sistem kiri	Sistem kanan
a3: v(2, 1)	t6: ¬v(2, 1)
t6: ¬v(1, 2)	a3: v(1, 2)

Jadi, v(2, 1) dan v(1, 2) tidak dapat ditentukan berdasarkan aksioma dan aturan sistem tersebut. Kita tak dapat membuktikan benar (prove) maupun salah (disprove) kedua kalimat tersebut. Maka pernyataan v(2,1) dan v(1, 2) disebut sebagai undecidable statements.

Undecidable statement: Kalimat dalam sistem deduktif yang tak dapat dibuktikan benar (proven) maupun salah (disproven) menggunakan aksioma-aksioma dan aturan dalam sistem tersebut.

Namun jangan sampai salah memahami hal ini. Walaupun undecidable statement tak dapat dibuktikan di dalam sistem, ada kemungkinan kalimat itu dapat dibuktikan di luar sistem.

Ini seperti pembuktian bahwa MU tak dapat diperoleh dari MI. Pembuktian itu harus dilakukan di luar sistem. Untuk kasus sistem kita di atas, ternyata dengan keluar dari sistem juga tidak membantu kita membuktikan pernyataan v(1, 2) yang pada dasarnya memang tidak dapat dibuktikan. Walaupun demikian, dengan keluar dari sistem kita mampu memikirkan dua alternatif keadaan yang konsisten dengan sistem kita.

Dapatkah keberadaan Allah dibuktikan?

Pernyataan-pernyataan mengenai keberadaan Allah Pencipta merupakan pernyataan yang undecidable. Sepintar apapun kita, usaha kita untuk membuktikan keberadaan Allah adalah usaha yang dilakukan di dalam sistem.

Anto
Allah pasti ada, karena semua hal di dalam dunia ini bisa ada 
karena diciptakan olehNya.
Bomi
Allah tidak mungkin ada, karena kalau Allah ada, tidak akan 
ada penderitaan.
Rina
Allah ada karena Kitab Suci mengatakan demikian.

Semua pembuktian mengenai keberadaan Allah (atau ketidakberadaanNya)tidak akan sanggup meyakinkan kita akan jawabannya. Seluruh pembuktian kita adalah di dalam sistem yang mengungkung kita: Dunia ini. Seandainya kita bisa keluar dari sistem, ada kemungkinan kita bisa membuktikan keberadaan Allah. Namun kita tak mungkin keluar dari sistem, bukan? Kalaupun benar seseorang mati dan bertemu dengan Allah ia tetap tak dapat menjawab apakah hal itu ilusi atau bukan. Mencoba membuktikan Allah dalam sistem pengetahuan kita akan membuat kita berputar-putar terus.

Karena itulah dalam agama-agama tertentu kita mempercayai sesuatu bukan karena bukti. Inilah yang disebut iman. Kita mempercayai sesuatu terlebih dahulu. Kita justru membuktikan hal-hal lain berdasarkan kepercayaan kita, yang pada akhirnya membuat segala hal lain justru jadi masuk akal. Sama seperti aksioma yang dipercayai – bukan dibuktikan – tetapi sanggup untuk membuat teorema-teorema menjadi masuk akal.

Kita bukan perlu pengetahuan untuk membuat Allah jadi masuk akal. Sebaliknya, kita perlu iman kepada Allah untuk membuat pengetahuan kita menjadi masuk akal. Iman mendahului bukti.

Iman adalah dasar dari segala sesuatu yang kita harapkan dan bukti dari segala sesuatu yang tidak kita lihat. – Ibrani 11:1 (Alkitab)

Keberadaan undecidable statement menunjukkan bahwa sistem deduktif kita tidak komplet. Untuk membuatnya komplet kita harus memodifikasi sistemnya. Misalnya, kita dapat menambahkan aksioma ketiga.

Relasi v(x, y) dengan domain D = {0, 1, 2}.

A1
v(0,1)
A2
v(0, 2)
A3
v(1, 2)
R1
∀x∈D: v(x, y) ⇒ ¬v(y, x)

Dengan penambahan aksioma ke-3, graf berarahnya akan menjadi seperti di bawah ini.

Bolehkah kita menambahkan v(2, 1) sebagai aksioma ketiga? Tentu saja boleh, tetapi graf yang dihasilkan juga berbeda.

Latihan

Apakah sistem deduktif V akan menjadi komplet jika kita menambahkan \neg v(1, 2) sebagai aksiomanya?
Apakah yang akan terjadi dengan sistem deduktif V jika kita mengganti implikasi dalam R1 dengan biimplikasi? ∀x∈D: ∀y∈D: v(x, y) ⇔ ¬v(y, x)

Berikutnya: Sistem-sistem deduktif lain