Pembuktian Independensi

Pembuktian independensi adalah cara membuktikan dengan membuat dua varian dari sistem deduktif. Model pertama mengandung hipotesis nol (H_0), sementara model kedua mengandung hipotesis alternatif (H_A), yang adalah negasi dari H_0. Jadi dalam dua model ini, informasi-informasi yang sudah diketahui ditampilkan secara sama persis, tetapi masing-masing ditambahi satu informasi H_0 dan H_A.

Sejauh ini hal yang dapat kita ketahui digambarkan dalam graf berikut ini:

Kita akan membuat dua graf yang semuanya mengandung graf tersebut sebagai template.

Varian 1

Varian 2

	0	1	2
0	T1	A1	A2
1	T4	T2
2	T5		T3

	0	1	2
0	T1	A1	A2
1	T4	T2
2	T5		T3

Kedua model di atas sama persis. Sekarang kita menambahkan H_0 pada varian pertama, dan H_A pada varian kedua.

Varian 1
Mengandung H_0: v(1,2)

Varian 2
Mengandung H_A: \neg v(1,2)

	0	1	2
0	T1	A1	A2
1	T4	T2	H0
2	T5	H01	T3

	0	1	2
0	T1	A1	A2
1	T4	T2	HA
2	T5	HA1	T3

Dalam kedua graf, aksioma dan teoremanya sama, kecuali untuk H0 dan HA.

Model H0	Model HA
H_0: v(1, 2)	H_A: \neg v(1, 2)
H_{01}: \neg v(2, 1)	H_{A1}: v(2, 1)

Jadi, baik H_0: v(1, 2) maupun H_A: \neg v(1, 2) menghasilkan varian yang konsisten. Dua hal disebut konsisten jika keduanya dapat sama-sama benar. Karena keduanya varian di atas konsisten, berarti keduanya dapat sama-sama benar. Artinya kita tidak dapat menentukan yang mana yang benar dan yang mana yang salah. Dua-duanya sama-sama mungkin.

Karena kita tak dapat membuktikan benar (prove) maupun salah (disprove) H_0 maupun negasinya, maka pernyataan v(1,2) disebut sebagai undecidable statement.

Undecidable statement: Kalimat dalam sistem deduktif yang tak dapat dibuktikan benar (proven) maupun salah (disproven) menggunakan aksioma-aksioma dan aturan dalam sistem tersebut.

Namun jangan sampai salah memahami hal ini. Undecidable statements memang tak dapat dibuktikan di dalam sistem, tetapi yang tak dapat dibuktikan adalah kebenaran (atau kesalahan) pernyataan tersebut. Mengenai bahwa pernyataan itu sendiri adalah undecidable kadang dapat dibuktikan menggunakan pembuktian independensi yang telah kita gunakan di atas.

Pembuktian independensi adalah pembuktian di luar sistem. Artinya kamu tidak membuktikan berdasarkan aturan-aturan sistem yang terhubung dengan aksioma, tetapi dengan menyusun dua model yang berlawanan pada satu informasi.

Ini seperti pembuktian bahwa MU tak dapat diperoleh dari MI. Pembuktian itu harus dilakukan di luar sistem. Dengan keluar dari sistem kita mampu memikirkan dua alternatif keadaan yang konsisten dengan sistem kita.

Dapatkah keberadaan Allah dibuktikan?

Pernyataan-pernyataan mengenai keberadaan Allah Pencipta merupakan pernyataan yang undecidable. Sepintar apapun kita, usaha kita untuk membuktikan keberadaan Allah adalah usaha yang dilakukan di dalam sistem.

Anto
Allah pasti ada, karena semua hal di dalam dunia ini bisa ada 
karena diciptakan olehNya.
Bomi
Allah tidak mungkin ada, karena kalau Allah ada, tidak akan 
ada penderitaan.
Rina
Allah ada karena Kitab Suci mengatakan demikian.

Semua pembuktian mengenai keberadaan Allah (atau ketidakberadaanNya)tidak akan sanggup meyakinkan kita akan jawabannya. Seluruh pembuktian kita adalah di dalam sistem yang mengungkung kita: Dunia ini. Seandainya kita bisa keluar dari sistem, ada kemungkinan kita bisa membuktikan keberadaan Allah. Namun kita tak mungkin keluar dari sistem, bukan? Kalaupun benar seseorang mati dan bertemu dengan Allah ia tetap tak dapat menjawab apakah hal itu ilusi atau bukan. Mencoba membuktikan Allah dalam sistem pengetahuan kita akan membuat kita berputar-putar terus.

Karena itulah dalam agama-agama tertentu kita mempercayai sesuatu bukan karena bukti. Inilah yang disebut iman. Kita mempercayai sesuatu terlebih dahulu. Kita justru membuktikan hal-hal lain berdasarkan kepercayaan kita, yang pada akhirnya membuat segala hal lain justru jadi masuk akal. Sama seperti aksioma yang dipercayai – bukan dibuktikan – tetapi sanggup untuk membuat teorema-teorema menjadi masuk akal.

Kita bukan perlu pengetahuan untuk membuat Allah jadi masuk akal. Sebaliknya, kita perlu iman kepada Allah untuk membuat pengetahuan kita menjadi masuk akal. Iman mendahului bukti.

Iman adalah dasar dari segala sesuatu yang kita harapkan dan bukti dari segala sesuatu yang tidak kita lihat. – Ibrani 11:1 (Alkitab)

Sistem yang tidak komplet

Keberadaan undecidable statement menunjukkan bahwa sistem deduktif kita tidak komplet. Untuk membuatnya komplet kita harus memodifikasi sistemnya. Misalnya, kita dapat menambahkan aksioma ketiga.

Relasi v(x, y) dengan domain D = {0, 1, 2}.

A1
v(0,1)
A2
v(0, 2)
A3
v(1, 2)
R1
∀x∈D: v(x, y) ⇒ ¬v(y, x)

Dengan penambahan aksioma ke-3, graf berarahnya akan menjadi seperti di bawah ini.

Bolehkah kita menambahkan v(2, 1) sebagai aksioma ketiga? Tentu saja boleh, tetapi graf yang dihasilkan juga berbeda.

Latihan

Apakah sistem deduktif V akan menjadi komplet jika kita menambahkan \neg v(1, 2) sebagai aksiomanya?
Apakah yang akan terjadi dengan sistem deduktif V jika kita mengganti implikasi dalam R1 dengan biimplikasi? ∀x∈D: ∀y∈D: v(x, y) ⇔ ¬v(y, x)

Berikutnya: Sifat yang dapat dimiliki sistem deduktif