Pembuktian Teorema

Dalam sistem deduktif, aksioma bukan untuk dipertanyakan. Kalau kamu tidak percaya pada aksioma yang diberikan, ya sudah apa boleh buat. Orang tidak bisa memaksa, dan kamupun juga tak dapat menarik kesimpulan.

Berbeda dengan aksioma, teorema perlu disertai dengan bukti. Pembuktian adalah proses menunjukkan bahwa sebuah teorema benar-benar diakibatkan oleh aksioma. Pembuktian adalah suatu bentuk komunikasi yang bertujuan untuk meyakinkan orang lain.

Pembuktian
Proses memperlihatkan bahwa suatu teorema merupakan hasil penarikan kesimpulan yang sah dari aksioma atau teorema sebelumnya.

Dalam dialog antara Susi dan Herman, Susi melakukan pembuktian kepada Herman akan kesimpulan-kesimpulannya.

Susi

Aha! Amburegul pasti mengungu diri sendiri! (Teorema Susi 1)

Herman

Ha? Bagaimana kamu tahu? Kamu bahkan tidak tahu apa itu mengungu. (Herman meminta pembuktian)

Susi

Lho, tadi kan kamu bilang bahwa setiap Krucing mengungu diri sendiri. Berarti, Amburegul, Bahrelway, Emeseyu, dan Titanigo, masing-masing mengungu diri sendiri dong! (Susi memberikan pembuktian atas teoremanya)

Cara menyajikan pembuktian ada berbagai macam. Dalam dialog di atas Susi menyajikan dalam bentuk argumen. Argumen adalah rangkaian kalimat yang disusun untuk meyakinkan akan kesimpulan yang diraih. Keterampilan berargumen perlu kamu miliki karena dalam setiap situasi kamu akan memerlukannya. Kamu akan sering bertemu dengan orang yang perlu diyakinkan akan sesuatu.

Plot twist: Terbukti bukan berarti pasti dipercaya

Kamu bisa memberikan pembuktian yang secara logis tidak dapat dibantah, tetapi pendengarmu tidak tentu akan serta merta percaya kepadamu.

Manusia bersifat intuitif, bukan logis. Jadi argumen paling logis pun tidak dapat meyakinkan seseorang jika ia sudah memiliki kepercayaan yang bertentangan dengan argumenmu. Seringkali ini juga disebabkan karena orang tersebut sudah menetapkan apa yang hendak ia percayai.

Namun tetaplah sajikan pembuktian dengan sistematis, karena bagaimanapun kamu tetap perlu menyuarakan hal yang kamu yakini benar.

Plot twist lagi

Kamu sendiri belum tentu benar. Mungkin fakta yang kamu jadikan acuan sebenarnya salah, atau penarikan kesimpulan yang kamu buat sebenarnya tidak valid dan berlubang di sana-sini.

Menyusun argumen dalam bentuk kalimat bisa sangat sulit, tetapi kamu bisa menggunakan bantuan diagram inferensia yang telah kamu pelajari dalam bab Logika Simbolik. Di bawah ini adalah diagram inferensia untuk memperoleh teorema 1 (T1), yang hanyalah hasil instansiasi universal (IU) dari R1.

Diagram pembuktian T1. Klik tombol-tombol di atas untuk mengubah tampilan diagram.

Diagram penarikan kesimpulan

Dengan diagram inferensia, kamu dapat dengan jelas menggambarkan alur berpikir dari informasi awal yang dimiliki hingga didapat kesimpulan akhir.

Setelah menggambar diagram, kamu dapat dengan mudah menerjemahkan pembuktian menggunakan bahasa sehari-hari, seperti yang dilakukan oleh Susi:

Berdasarkan yang kita ketahui, setiap Krucing mengungu diri sendiri. Karena Amburegul termasuk Krucing, maka Amburegul juga mengungu diri sendiri.

Kegunaan diagram adalah untuk membantu. Dalam bab ini kita akan lebih banyak membuktikan menggunakan diagram, tetapi dalam kehidupan nyata diagram adalah alat untuk membantu visualisasi kalimat-kalimat argumen yang kamu katakan pada orang lain. Jadi jangan puas dengan hanya bisa menggambar diagram saja. Pastikan kamu dapat menjelaskan diagram tersebut.

Pembuktian dan penurunan

Pembuktian mirip dengan penurunan (derivasi). Tentunya kamu sering mendengar kata ini dari guru matematika maupun fisika: Penurunan rumus ini... bla... bla... bla...

Perbedannya bukan pada prosesnya, melainkan pada tujuan. Penurunan bertujuan untuk mencari kesimpulan, sementara pembuktian bertujuan untuk memperlihatkan validitas pemikiran kita.

Dalam bab ini kita akan lebih banyak memakai istilah pembuktian untuk proses semacam ini.

Bagaimana dengan Bahrelway, Emeseyu, dan Titanigo?

Pembuktian yang sama bisa diberikan mengenai Bahrelway, Emeseyu, dan Titanigo. Perbedaannya terdapat pada krucing yang disubstitusikan pada variabel. Dengan demikian informasi kita sekarang ada tujuh: tiga aksioma dan empat teorema.

A1
ng(A,B)
A2
ng(B,E)
A3
\neg ng(B,T)
T1
ng(A,A)
T2
ng(B,B)
T3
ng(E,E)
T4
ng(T,T)

Sehingga grafnya akan semakin lengkap:

T2 hingga T4 dapat dibuktikan dengan cara yang sama dengan T1.
AmburegulBahrelwayEmeseyuTitanigo
AmburegulT1A1
BahrelwayT2A2A3
EmeseyuT3
TitanigoT4

Sekarang terlihat bahwa walaupun informasi yang kita miliki sedikit, tetapi berdasarkan aturan yang diberikan, kita dapat menarik kesimpulan dan mendapatkan informasi-informasi lain yang tidak disebutkan, yang sebenarnya sudah terkandung dalam informasi awal.

Berhenti sejenak

Sampai di sini, kamu telah lebih dalam berkenalan dengan yang disebut sebagai sistem deduktif, yaitu sistem pengetahuan yang berisi definisi, aksioma, dan aturan inferensia, yang dapat dikembangkan dengan cara menyimpulkan dari informasi yang sudah ada.

Sistem deduktif
Sistem pengetahuan yang dapat dikembangkan berdasarkan sejumlah informasi dengan menggunakan aturan penarikan kesimpulan deduktif. Sistem ini terdiri dari definisi, aksioma, dan aturan inferensia yang dapat dikombinasikan untuk menghasilkan teorema-teorema.

K = {Amburegul, Bahrelway, Emeseyu, Titanigo}

ng(x, y) = x mengungu y.

Dengan x, y ∈ K

A1
ng(A,B)
A2
ng(B,E)
A3
\neg ng(B,T)
R1
\forall x\in K: ng(x,x)
R2
\forall x\in K: \forall y\in K: ng(x,y) \implies ng(y,x)
R3
\forall x \in K: \forall y \in K: \forall z \in K: ng(x,y) \land ng(y,z) \implies ng(x,z)

Dengan aturan inferensia, kita bisa mengetahui teorema-teorema apa saja yang terkandung dalam sistem tersebut walaupun teorema-teorema tersebut tidak disebutkan secara eksplisit.

Batasan teorema

Kalimat seperti apa yang akan kita sebut teorema? Sebenarnya setiap pernyataan hasil kesimpulan bisa kita sebut sebagai teorema. Namun dalam pembicaraan relasi biner kita saat ini, kita akan membatasi yang disebut teorema sebagai pernyataan mengenai x mengungu y, yang disimbolkan sebagai ng(x,y).

Latihan

Gambarkan diagram pembuktian untuk T2 hingga T4.

Berikutnya: Analogi

Ditulis oleh
Pak Ari
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
logika sistem deduktif relasi biner