Bilangan asli

Bagaimanakah kita mendefinisikan himpunan bilangan asli? Biasanya kita cukup mendaftar sebagian anggota bilangan asli, kemudian menyuruh orang melanjutkan sendiri sisanya.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}

Cara mendefinisikan seperti ini sangat jelas dan intuitif. Kita akan menilik cara mendefinisikan bilangan asli secara deduktif.

Untuk menyederhanakan, kita akan menggunakan cara penulisan bilangan:

  • 1 = šŸ¦
  • 2 = šŸ¦šŸ¦
  • 3 = šŸ¦šŸ¦šŸ¦
  • dan seterusnya.

Jadi sebuah bilangan asli dapat diwakili dengan deretan simbol šŸ¦.

Pertama, himpunan bilangan asli pasti memiliki bilangan bernilai 1 yang diwakili oleh sebuah simbol šŸ¦.

šŸ¦ \in\mathbb{N}

Ini adalah titik mula untuk menghasilkan seluruh bilangan asli. Berarti ini adalah aksioma pertama.

A1
šŸ¦\in\mathbb{N}

Kemudian, karena bilangan asli dituliskan sebagai deretan simbol , maka kita bisa mendefinisikan bilangan asli berikutnya yaitu . Alih-alih langsung mendefinisikan bilangannya, kita akan menggunakan aturan seperti ini:

Katakanlah ada sebuah bilangan asli n yang entah nilainya berapa. Bilangan tersebut akan terdiri dari sejumlah rakun.

n = šŸ¦šŸ¦šŸ¦\ldots

Bilangan setelah n pasti adalah šŸ¦šŸ¦šŸ¦šŸ¦... yang entah berapa panjangnya itu ditambah dengan sebuah šŸ¦.

... +

Kita dapat menuliskannya sebagai:

nšŸ¦

Sebagai contoh, jika n bernilai 3, yang simbolnya šŸ¦šŸ¦šŸ¦. Berarti nšŸ¦ akan bernilai 4.

n = šŸ¦šŸ¦šŸ¦ nšŸ¦ = šŸ¦šŸ¦šŸ¦šŸ¦

Ini berlaku untuk sembarang nilai n. Kita dapat menuliskannya sebagai:

\forall n\in\mathbb{N}:\,nšŸ¦\in\mathbb{N}

yang dapat dituliskan sebagai aksioma 2.

A2 : \forall n\mathbb{\in N:}\ n\mathbb{\in N}

Sekarang kita telah memiliki dua aksioma.

A1 : \mathbb{\in N}

A2 : \forall n\mathbb{\in N:}\ n\mathbb{\in N}

Dengan ini saja, kamu sudah bisa memperoleh himpunan bilangan asli.

\mathbb{N} = \{šŸ¦,\

Kemudian dengan menarik kesimpulan didapatkan:

\mathbb{N} = \{ šŸ¦, \\ šŸ¦šŸ¦, \\ šŸ¦šŸ¦šŸ¦, \\ šŸ¦šŸ¦šŸ¦šŸ¦, \\ ... \}

dan seterusnya.

Latihan

  1. Berdasarkan sistem di atas, buktikan kebenaran kalimat-kalimat di bawah ini.

    1. 1 āˆˆ ā„•
    2. 3 āˆˆ ā„•
    3. 2 āˆˆ ā„•
    4. 4 āˆˆ ā„•
    5. 8 āˆˆ ā„•
  2. Diketahui bahwa u āˆˆ ā„•. Buktikan bahwa u juga merupakan anggota ā„•.

  3. Diketahui bahwa a āˆˆ ā„•. Dapatkah kita membuktikan bahwa a juga merupakan anggota ā„•? Jika tidak, mengapa? Jika tidak, apakah berarti kalimat itu tidak dapat ditentukan kebenarannya?

  4. Buktikan bahwa tidak ada k\in\mathbb{N} yang bilangan sesudahnya adalah 1. Tuliskan kalimat ini menggunakan kalimat matematika.

  5. Apakah aksioma 1 dan 2 akan menghasilkan bilangan asli saja? Adakah kemungkinan bahwa barisan bisa bernilai lain selain bilangan asli?

Berikutnya: Bahasa

Ditulis oleh
Pak Ari
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
logika sistem deduktif relasi biner