Maju lagi: Aturan kedua

Berdasarkan aturan kedua, kita juga bisa menarik kesimpulan. Contohnya, kita menggabungkan aturan kedua dengan aksioma kedua.

Untuk R2, kita dapat menarik kesimpulan dengan IU, mengganti x dengan B dan y dengan E.

Mengapa penggantiannya adalah B dengan E? Agar ini bisa dihubungkan dengan A2.

Berarti, kita harus memberi tanda panah dari Emeseyu ke Bahrelway. Akibatnya, tanda panahnya sekarang menjadi bolak-balik.

Bagaimana cara tahu bahwa x=B dan y=E?

Kamu bisa melihat ketersediaan aksiomanya. Kita memiliki aksioma ng(A,B) dan ng(B,E). Jadi agar bisa menghubungkan L1 dengan ng(B,E), kamu perlu mengganti dengan B dan E.

Pada dasarnya x dan y bisa diganti apa saja selama masih ada dalam domain pembicaraan K. Namun apa yang terjadi kalau kamu memilih x=E dan y=T?

Terlihat bahwa pernyataan yang dihasilkan adalah ng(E, T) \implies ng(T, E). Untuk menarik kesimpulan dari pernyataan ini, kita akan memerlukan ng(E,T) (modus ponens) atau \neg ng(T,E) (modus tollens). Namun baik ng(E,T) maupun \neg ng(T,E) belum ada dalam daftar kita.

Perhatikan urutan x,y

Dalam contoh di atas, kita mengganti x dengan B, dan y dengan E. Seandainya terbalik (x=E, y=B), kamu tidak akan dapat menarik kesimpulan.

Untuk menggunakan modus ponens (MP), kita akan memerlukan anteseden L1, yaitu ng(E,B). Sementara dengan modus tollens (MT), kita akan memerlukan negasi dari konsekuen L1, yaitu \neg ng(B,E) yang berkontradiksi dengan A2.

Corat-coret graf bisa membantu

Masih bingung menentukan x dan y harus diganti apa?

Bagian ini tidak termasuk dalam pembuktian, tetapi dapat membantumu menentukan penggantian untuk x dan y.

Perhatikan aturan R2:

ng(x,y) \implies ng(y,x)

Kita dapat menggambarkan graf terhadap x, y. Seandainya kita memiliki:

digraph G { rankdir=LR node[shape=circle class=sdnode] edge[class=sdedge] x y x -> y }

Maka R2 akan mengakibatkan:

digraph G { rankdir=LR node[shape=circle class=sdnode] edge[class=sdedge] x y x -> y y -> x }

Dengan memperhatikan graf yang telah tergambar:

Kita memiliki A2.

digraph G { rankdir=LR node[shape=circle class=sdnode] edge[class=sdedge] B E B -> E }

Karena ada panah dari B ke E, berarti kita dapat menambahkan panah sebaliknya dari E ke B.

digraph G { rankdir=LR node[shape=circle class=sdnode] edge[class=sdedge] B E B -> E E -> B }

Berarti kita akan menggantikan x dengan B, dan y dengan E.

Sampai di sini, graf berarah kita telah menjadi lebih lengkap, mengandung A1 hingga A3, dan T1 hingga T5.

Graf berarah dengan penambahan T5.

	Amburegul	Bahrelway	Emeseyu	Titanigo
Amburegul	T1	A1
Bahrelway		T2	A2	A3
Emeseyu		T5	T3
Titanigo				T4

Lemma

Perhatikan bahwa dalam proses penarikan kesimpulan seringkali muncul kesimpulan yang bukan hasil akhir tetapi ada di antaranya. Dalam inferensia di atas ini ditandai dengan L1. Ini disebut sebagai lemma.

Sebenarnya, lemma tidak ada bedanya dengan teorema. Namun karena bukan jawaban akhir yang kita inginkan kita tidak menyebutnya sebagai teorema. Terutama karena kita tetapkan dari awal bahwa yang disebut teorema adalah pernyataan mengenai hubungan x dengan y, yang berbentuk ng(x,y).

Yang manakah yang akan kita sebut lemma dan yang manakah yang akan kita sebut sebagai teorema? Penentuan lemma dan teorema adalah sangat subjektif. Biasanya dalam matematika yang disebut sebagai teorema adalah pernyataan umum yang memiliki penerapan luas, dan lemma muncul sebagai langkah yang diperlukan untuk membuktikan teorema-teorema tersebut.

Lemma: Kesimpulan yang dihasilkan melalui aturan inferensia tetapi oleh alasan subjektif tertentu tidak disebut sebagai teorema. Misalnya karena dirasa kurang greget untuk disebut teorema.

Cara yang sama juga bisa diberlakukan untuk Bahrelway ke Amburegul. Ini adalah teorema 6. Jadi, kita memiliki tambahan dua lagi teorema.

ng(E, B)

ng(B, A)

T6 dapat dibuktikan dengan cara yang sama dengan T5.

	Amburegul	Bahrelway	Emeseyu	Titanigo
Amburegul	T1	A1
Bahrelway	T6	T2	A2	A3
Emeseyu		T5	T3
Titanigo				T4

Latihan

Gambarkan diagram pembuktian untuk T6.
Jelaskan alasan pemilihan nilai x dan y dalam R2 untuk membuktikan T6:
1. Mengapa kamu memilih sedemikian?
2. Mengapa kamu tidak memilih pilihan lain?
3. Apa yang terjadi jika nilai x dan y tersebut tertukar?
4. Bagaimana menggunakan graf untuk membantumu menentukan nilai x dan y?
Dapatkah menggunakan aturan R1 atau R3 untuk membuktikan T6? Jelaskan alasannya!
Dapatkah kita menggunakan A3 dengan R2 untuk mendapatkan teorema lainnya? (Kamu perlu memeriksa alur penarikan kesimpulannya dengan sangat teliti.)

Berikutnya: Aturan ketiga