Perkalian matriks

Dua matriks juga dapat dikalikan. Berbeda dengan penjumlahan, cara mengalikannya bukan dengan mengalikan elemen yang seletak.

Kita akan mulai dengan mengalikan matriks baris dan matriks kolom.

\begin{bmatrix} 2 & 5 & 3 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}

Mengalikan matriks dilakukan dengan menempelkan matriks seperti ini.


			1
			-1
			2
2	5	3

Matriks hasil perkalian akan muncul dengan sendirinya di antara kedua matriks tersebut.


			1
			-1
			2
2	5	3

Bagaimana mengalikannya? Kita baca berurutan elemen matriks masing-masing. Mulai dari urutan pertama. Kalikan kedua elemen tersebut.

		1	1	2 × 1 = 2
			-1
1			2
2	5	3

Kalikan juga elemen berikutnya.

			1	2 × 1 = 2
		2	-1	5 × -1 = -5
	2		2
2	5	3

Juga elemen berikutnya lagi.

			1	2 × 1 = 2
			-1	5 × -1 = -5
		3	2	3 × 2 = 6
2	5	3

Terakhir, jumlahkan semuanya. Itulah hasilnya.

				1
				1	2 × 1 = 2
				-1	5 × -1 = -5
				2	3 × 2 = 6
1	2	5	3	3	2 + -5 + 6 = 3

Latihan

Tentukan hasil operasi matriks di bawah ini.

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 4 & 4 & 1 & - 2 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 5 \\ \end{bmatrix}

Contoh

Hitunglah

\begin{bmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & - 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end {bmatrix}

Seperti sebelumnya, kita letakkan kedua matriks dalam posisi:


			4	1	1
			0	2	-2
			3	1	2
1	2	-1
1	2	3

Dengan cara yang sama, kalikan satu per satu setiap baris dengan kolom yang ada.

Untuk memperoleh hasil elemen (1, 1), kalikan baris 1 matriks pertama dengan kolom 1 matriks kedua.

				1
				4	1	1	1 × 4 = 4
				0	2	-2	2 × 0 = 0
				3	1	2	-1 × 3 = -3
1	1	2	-1	1			4 + 0 + -3 = 1
	1	2	3

Untuk memperoleh hasil elemen (1, 2), kalikan baris 1 matriks pertama dengan kolom 2 matriks kedua.

					2
				4	1	1	1 × 1 = 1
				0	2	-2	2 × 2 = 4
				3	1	2	-1 × 1 = -1
1	1	2	-1	1	4		1 + 4 + -1 = 4
	1	2	3

Untuk memperoleh hasil elemen (1, 3), kalikan baris 1 matriks pertama dengan kolom 3 matriks kedua.

						3
				4	1	1	1 × 1 = 1
				0	2	-2	2 × -2 = -4
				3	1	2	-1 × 2 = -2
1	1	2	-1	1	4	-5	1 + -4 + -2 = -5
	1	2	3

Untuk memperoleh hasil elemen (2, 1), kalikan baris 2 matriks pertama dengan kolom 1 matriks kedua.

				1
				4	1	1	1 × 4 = 4
				0	2	-2	2 × 0 = 0
				3	1	2	3 × 3 = 9
	1	2	-1	1	4	-5
2	1	2	3	13			4 + 0 + 9 = 13

Untuk memperoleh hasil elemen (2, 2), kalikan baris 2 matriks pertama dengan kolom 2 matriks kedua.

					2
				4	1	1	1 × 1 = 1
				0	2	-2	2 × 2 = 4
				3	1	2	3 × 1 = 3
	1	2	-1	1	4	-5
2	1	2	3	13	8		1 + 4 + 3 = 8

Untuk memperoleh hasil elemen (2, 3), kalikan baris 2 matriks pertama dengan kolom 3 matriks kedua.

						3
				4	1	1	1 × 1 = 1
				0	2	-2	2 × -2 = -4
				3	1	2	3 × 2 = 6
	1	2	-1	1	4	-5
2	1	2	3	13	8	3	1 + -4 + 6 = 3

Sehingga hasil perkalian matriks di atas adalah:

\begin{bmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & - 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & - 5 \\ 13 & 8 & 3 \\ \end{bmatrix}

Latihan

Tentukan hasil perkalian matriks-matriks berikut.
1. \begin{bmatrix} 4 & 1 & - 1 \\ 1 & - 2 & 2 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}
2. \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & - 2 \\ 2 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ \end{bmatrix}
3. \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix}
4. \begin{bmatrix} 1 & - 5 \\ - 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}
5. \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix}
6. \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix}
7. \begin{bmatrix} 3 & - 2 \\ 8 & - 5 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} - 5 & 2 \\ - 8 & 3 \\ \end{bmatrix}
8. \begin{bmatrix} 31 & 58 & 44 \\ 12 & 31 & 11 \\ 15 & 97 & 14 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}
A adalah matriks kolom dan B adalah matriks baris. Jika banyaknya elemen A sama dengan banyaknya elemen B, tentukan ukuran matriks:
1. A B
2. B A

Berikutnya: Sistem Persamaan Linear