Determinan 2×2

Untuk menghitung determinan bagi suatu matriks persegi berukuran 2, cara yang digunakan adalah sebagai berikut. Misalkan, determinan yang hendak kita hitung adalah:

\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}

Pertama, pilihlah sebuah baris atau sebuah kolom. Misalnya, kita akan memilih baris pertama dari matriks tersebut, yang berisi bilangan 3 dan 2.

\begin{vmatrix} \colorbox{#ffffff}{3} & \colorbox{#ffffff}{2} \\ 4 & 5 \end{vmatrix}

Tuliskan bilangan-bilangan tersebut secara menyamping, dengan memberikan jarak secukupnya seperti pada contoh ini.

\begin{vmatrix} \colorbox{#ffffff}{3} & \colorbox{#ffffff}{2} \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 3 \hspace{5em} 2 \hspace{5em}

Sekarang masing-masing bilangan tersebut harus diberi tanda. Tanda yang diberikan selalu berselang seling + dan -, tetapi tanda paling kiri harus disesuaikan dengan nomor baris atau kolom yang dipilih. Baris dengan nomor ganjil dimulai dengan +, sementara baris dengan nomor genap dimulai dengan -.

Karena baris yang kita pilih adalah baris 1 yang adalah ganjil, maka tanda paling kiri adalah +. Tanda berikutnya adalah -.

\begin{vmatrix} \colorbox{#ffffff}{3} & \colorbox{#ffffff}{2} \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = +3 \hspace{5em} -2 \hspace{5em}

Berikutnya, minor. Minor adalah determinan juga, tetapi elemennya berkurang satu baris dan satu kolom.

Kamu dapat menuliskan terlebih dahulu determinan yang dicari di sisi masing-masing bilangan yang telah dituliskan.

\begin{vmatrix} \colorbox{#ffffff}{3} & \colorbox{#ffffff}{2} \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = +3 \begin{vmatrix} \colorbox{#ffffff}{3} & \colorbox{#ffffff}{2} \\ \colorbox{#ffffff}{4} & 5 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} \colorbox{#ffffff}{3} & \colorbox{#ffffff}{2} \\ 4 & \colorbox{#ffffff}{5} \end{vmatrix}

Kemudian, hapus baris dan kolom tempat elemen yang bersangkutan berada.

\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = +3 \begin{vmatrix} 5 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix}

Hitung minornya.

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} &= +3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \\ &= 15 - 8 \\ &= 7 \end{aligned}

Kamu tidak harus memilih baris 1. Mari kita coba kemungkinan lain, yang salah satunya adalah kolom 2, yang berisi elemen 2 dan 5. Karena kolom 2 adalah kolom genap, maka tandanya adalah - +.

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & \colorbox{#ffffff}{2} \\ 4 & \colorbox{#ffffff}{5} \end{vmatrix} &= -2 \begin{vmatrix} \colorbox{#ffffff}{3} & \colorbox{#ffffff}{2} \\ 4 & \colorbox{#ffffff}{5} \end{vmatrix} +5 \begin{vmatrix} 3 & \colorbox{#ffffff}{2} \\ \colorbox{#ffffff}{4} & \colorbox{#ffffff}{5} \end{vmatrix} \\ &= -2 | 4 | + 5 | 3 | \\ &= -2\cdot 4 + 5\cdot 3 \\ &= -8 + 15\\ &= 7 \end{aligned}

Ternyata menghasilkan nilai yang sama.

Latihan

  1. Tentukan determinan matriks-matriks berikut.

    1. \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 5 \\ \end{bmatrix}
    2. \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ - 1 & 8 \\ \end{bmatrix}
    3. \begin{bmatrix} - 1 & 2 \\ 3 & - 4 \\ \end{bmatrix}
    4. \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \\ \end{bmatrix}
    5. \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}
    6. \begin{bmatrix} - 3 & 0 \\ 7 & 5 \\ \end{bmatrix}
    7. \begin{bmatrix} - 3 & 1 \\ 0 & - 5 \\ \end{bmatrix}
    8. \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}
    9. \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 3 \\ \end{bmatrix}
    10. \begin{bmatrix} 1 & - 3000 \\ 8 & - 24000 \\ \end{bmatrix}
    11. \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 5 \\ \end{bmatrix}
  2. Tentukan nilai dari \left| \begin{matrix} x + 3 & x - 4 \\ x + 5 & x - 2 \\ \end{matrix} \right|

  3. \det\begin{bmatrix} a - 1 & a \\ \frac{a}{2} & 2a - 1 \\ \end{bmatrix} = 13 Tentukan nilai a yang memenuhi.

Berikutnya: Determinan matriks 3×3

Ditulis oleh
Ari Prasetyo
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
matriks determinan