Matriks Invers

Kadang-kadang dua matriks dikalikan menjadi matriks identitas.

AB = I

Misalnya kedua matriks berikut ini.

\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\\ B &= \begin{bmatrix} - 4 & 7 \\ 3 & - 5 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

Jika keduanya dikalikan:

AB = \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} - 4 & 7 \\ 3 & - 5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

Demikian juga sebaliknya:

BA = \begin{bmatrix} - 4 & 7 \\ 3 & - 5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

A dan B disebut sebagai saling invers.

Jika kita sudah tahu bahwa B adalah invers dari A, kita boleh menyatakan B sebagai invers dari A menggunakan tanda pangkat -1.

B = A^{-1}

Atau sebaliknya, A juga bisa dinyatakan sebagai invers dari B.

A = B^{-1}

Kesamaan dengan aljabar bilangan

Dalam aljabar bilangan, kita mengenal invers dan identitas juga (lebih tepatnya identitas perkalian). Tabel di bawah ini dapat memperlihatkan kalian perbandingan antara aljabar bilangan dengan aljabar matriks.

	Aljabar bilangan	Matriks
Perkalian	a \cdot b	A \cdot B
Invers perkalian	a^{-1} = \frac{1}{a}	A^{-1}
Identitas perkalian	1	I_{2\times2} = \begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}
Perkalian dengan invers	a\cdot a^{-1} = a\cdot\frac{1}{a} = 1	A\cdot A^{-1}=I
	a^{-1}\cdot a = \frac{1}{a}\cdot a = 1	A^{-1}\cdot A=I

Perbandingan antara perkalian dalam aljabar bilangan dengan aljabar matriks.

Latihan

Tentukan pasangan matriks di bawah ini yang saling invers.
1. \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ - 1 & - 1 \\ \end{bmatrix} dan \begin{bmatrix} - 1 & - 5 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix}
2. \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 5 \\ \end{bmatrix} dan \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 5 \\ \end{bmatrix}
3. \begin{bmatrix} 2 & - 5 \\ 3 & - 6 \\ \end{bmatrix} dan \frac{1}{3}\begin{bmatrix} - 6 & 5 \\ - 3 & 2 \\ \end{bmatrix}
4. \begin{bmatrix} 1 & - 2\frac{1}{2} \\ - 2 & 5\frac{1}{2} \\ \end{bmatrix} dan \begin{bmatrix} 11 & 5 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}
5. \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} dan \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 0 \\ \end{bmatrix}
6. \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix} dan \begin{bmatrix} 2 & - 4 \\ - 3 & 1 \\ \end{bmatrix}
7. \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{bmatrix} dan \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \\ \end{bmatrix}
8. \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} dan \begin{bmatrix} d & - b \\ - c & a \\ \end{bmatrix}
9. \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \\ \end{bmatrix} dan \begin{bmatrix} - 1 & - 3 \\ - 1 & - 5 \\ \end{bmatrix}
10. \begin{bmatrix} x & x + 1 \\ x - 2 & x - 1 \\ \end{bmatrix} dan \frac{1}{2}\begin{bmatrix} x - 1 & - 1 - x \\ 2 - x & x \\ \end{bmatrix}
11. \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix} dan \begin{bmatrix} 2 & - 5 & 0 \\ - 1 & 3 & 0 \\ \end{bmatrix}
Matriks \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix} dan \begin{bmatrix} b + 5 & b \\ - b - 6 & 2 - b \\ \end{bmatrix} saling invers. Tentukan nilai b.

Berikutnya: Operasi pada matriks