Invers matriks dengan operasi baris elementer

Cara lain untuk menentukan invers matriks adalah menggunakan operasi baris elementer. Seperti teka-teki sebelumnya, untuk menentukan invers matriks:

A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \\ \end{bmatrix}

Buatlah persegi panjang berisi:

3	2	1	0
1	5	0	1

Dengan menggunakan operasi baris elementer, buatlah menjadi:

?	0	?	?
0	?	?	?

Kemudian menjadi:

1	0	?	?
0	1	?	?

Mari kita kerjakan. Kita mulai dari matriks A di sebelah kiri, dan matriks identitas di sebelah kanan.

3	2	1	0
1	5	0	1

Susunan ini tidak lain berarti:

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Kita kalikan baris kedua dengan 3 agar kolom pertama sama.

3	2	1	0
1	5	0	1	\times 3

Setelah sama, baris bawah dikurangkan dengan baris atas agar menjadi nol.

3	2	1	0
3	15	0	3	-b1

Samakan kembali kolom keduanya. Agar sama, baris atas harus dikali 13, sementara baris bawah harus dikali 2.

3	2	1	0	\times 13
0	13	-1	3	\times 2

Kurangkan baris atas dengan yang bawah agar menjadi 0.

39	26	13	0	-b2
0	26	-2	6

Sederhanakan.

39	0	15	-6	\times\frac{1}{3}
0	26	-2	6	\times\frac{1}{2}

Hasilnya adalah seperti ini.

13	0	5	-2
0	13	-1	3

Sampai di sini, kita dapat membaca matriks tersebut sebagai:

\begin{bmatrix} 13 & 0 \\ 0 & 13 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

Dengan membagi semua baris dengan 13, kita akan mendapatkan:

1	0	\frac{5}{13}	-\frac{2}{13}
0	1	-\frac{1}{13}	\frac{3}{13}

Dalam bentuk perkalian matriks penulisannya lebih sederhana.

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

Karena suku terkiri adalah matriks identitas yang dikalikan apapun tidak akan mengubah pengalinya, maka:

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

Kamu dapat memeriksanya dengan menggunakan ekspansi kofaktor, atau dengan mengalikan matriks A dengan inversnya.

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{13} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Atau, dengan mengalikan bersusun, kamu bisa mengabaikan bilangan 13-nya, untuk mendapatkan hasil \begin{bmatrix}13&0\\0&13\end{bmatrix}.


		5	-2
		-1	3
3	2	13	0
1	5	0	13

Jadi kamu bisa menggunakan ekspansi kofaktor maupun operasi baris elementer untuk menentukan invers matriks.

Perhatikan bahwa bilangan 13 muncul dari hasil perhitungan operasi baris elementer. Apakah arti bilangan ini?

Latihan

Tentukan invers dari matriks-matriks berikut menggunakan operasi baris elementer.

\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 6 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 6 & 1 \\ 6 & 2 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & 1 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 2 & - 2 & - 3 \\ \end{bmatrix}

Berikutnya: Persamaan Matriks