Sistem Persamaan Linear

Masih ingatkah kamu dengan sistem persamaan linear?

3x + 4y = 10 5x + 2y = 26

Bagaimanakah kamu akan mencari penyelesaian dari sistem persamaan tersebut?

Pertama, kalikan baris pertama dengan 5, dan baris kedua dengan 3. Tujuannya agar kedua persamaan memiliki koefisien x yang sama.

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c} 3x + 4y = 10 &\times 5 &15x + 20y = 50\\ 5x + 2y = 26 &\times 3 &15x + 6y = 78\\ \end{array}

Berikutnya kita kurangkan baris yang bawah dengan yang atas. Biasanya kamu akan menuliskan dalam bentuk:

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c} 15x &+& 20y &=& 50\\ 15x &+& 6y &=& 78 &-\\ \hline &&14y&=&-28 \end{array}

Namun, alih-alih menuliskan bentuk tersebut, kita akan menuliskan hasil pengurangannya untuk menggantikan persamaan bagian bawah (15x+6y=78 diganti dengan 14y=-28).

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c} 15x &+& 20y &=& 50\\ &&14y &=& -28\\ \end{array}

Sederhanakan dengan cara membagi 5 baris pertama (kali \frac{1}{5}), dan membagi 14 baris kedua (kali \frac{1}{14}).

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{ccccc:c:ccccc} 15x &+& 20y &=& 50 &\times \frac{1}{5} &3x &+& 4y &=& 10\\ && 14y &=& -28 &\times \frac{1}{2} &&&y&=&-2\\ \end{array}

Kemudian, kalikan kembali baris kedua dengan 4.

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{ccccc} 3x &+& 4y &=& 10\\ && 4y &=& -8 \\ \end{array}

Dengan mengurangkan baris atas dengan bawah, kita akan memperoleh:

\begin{aligned} 3x && &= 18 \\ && 4y &= - 8 \end{aligned}

Sekarang tinggal kita bagi baris atas dengan 3, dan baris bawah dengan 4.

\begin{aligned} x &= 6 \\ y &= -2 \end{aligned}

Pernahkah kamu melihat proses ini sebelumnya dalam bab ini? Ini tidak lain adalah teka-teki kotak bilangan yang ada di depan. Operasi yang dilakukan disebut sebagai operasi baris elementer.

3410×5
5226×3
152050
15678-b1
152050\times\frac{1}{5}
14-28\times\frac{1}{14}
3410
01-2×4
3410-b2
04-8
3018\times\frac{1}{3}
04-8\times\frac{1}{4}
106
01-2

Jadi matriks bisa digunakan untuk mewakili sebuah sistem persamaan linear.

Isomorfisme

Dalam matematika sering ditemukan dua macam struktur aturan yang berbeda tetapi bisa dipertukarkan satu sama lain. Keadaan seperti ini memiliki suatu istilah, yaitu isomorfisme. Dua struktur yang dapat saling dipertukarkan disebut sebagai isomorfis satu sama lain.

Latihan

Tuliskan koefisien-koefisien dan konstanta sistem-sistem persamaan berikut menjadi dalam format matriks.

  1. \left\{ \begin{matrix} x - 3y = - 25 \\ 2x + 5y = 27 \\ \end{matrix} \right.\
  2. \left\{ \begin{matrix} 5x + 4y = 6 \\ 3x - 7y = 13 \\ \end{matrix} \right.\
  3. \left\{ \begin{matrix} 2x + y = 8 \\ 3y - 4x = - 6 \\ \end{matrix} \right.\
  4. \left\{ \begin{matrix} y - x = - 5 \\ 4y = 32 \\ \end{matrix} \right.\
  5. \left\{ \begin{matrix} x - 2y + 3z = 8 \\ 4x + y + 2z = 21 \\ - x + 2y + z = 0 \\ \end{matrix} \right.\
  6. \left\{ \begin{matrix} 3x + y = - 3 \\ 2x + y = 4z = 6 \\ x + z = 1 \\ \end{matrix} \right.\
Ditulis oleh
Ari Prasetyo
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
matriks sistem persamaan linear