Aritmetika penjumlahan

Tentunya bagi kita semua sangat jelas bahwa aritmetika adalah matematika. Namun contoh yang jelas ini dapat membantu kita untuk mendapatkan gambaran mengenai keenam syarat matematika yang dibicarakan sebelumnya.

Pembicaraan kita hanya akan dibatasi pada operasi penjumlahan saja. Tentunya kamu sudah familiar dengan yang satu ini.

Sebagai catatan, contoh yang dibahas ini kemungkinan besar tidak sesuai dengan pengalamanmu belajar penjumlahan sewaktu SD karena aturan yang dibicarakan di sini dibuat sangat sedikit. Dengan sedikitnya aturan justru mengakibatkan secara keseluruhan tampak lebih rumit.

Bagaimanakah guru SD mengajarkan aritmetika?

Apakah guru SD-mu dulu mengajar seperti ini?

Guru

Anak-anak, hari ini kita akan melanjutkan pelajaran kemarin. Kemarin kita sudah sampai pada penjumlahan 21+23. Berapa hasilnya?

Murid

44 Bu!

Guru

Pintar! Sekarang kita akan lanjutkan ke pelajaran berikutnya! Catat ya! 21+24 = 45. Berapa anak-anak?

Murid

45 Bu!

Guru

Pintar! Kita lanjut lagi ya. 21+25 = 46. Berapa 21+25 Dahlan?

Dahlan

46 Bu!

Guru

Pintar!

(bel berbunyi) 

Guru

Wah, bel sudah berbunyi. Untuk 21+26 kita lanjutkan besok ya anak-anak.

Apakah demikian cara guru SD mengajar penjumlahan? Bayangkan jika standar kelulusan anak SD adalah dapat menghitung hingga 1 milyar!

Tentunya guru SD-mu tidak mengajarkan dengan cara seperti demikian. Dalam belajar aritmetika kita tidak sekadar menghafal fakta-fakta penjumlahan. Ada aturan yang perlu kita pelajari karena dengan aturan-aturan tersebut kita dapat menyimpulkan fakta-fakta lainnya. Jadi kita tidak perlu menghafal 21+23, 21+24, 21+25, dan seterusnya sebagai fakta-fakta terpisah, melainkan kita tinggal belajar fakta dasar, dan menyimpulkan fakta penjumlahan tertentu yang kita inginkan, misalnya 249.325 + 44.258.

Objek-objek yang dibicarakan

Setelah kamu melalui tingkatan tertentu waktu SD, kamu tidak lagi belajar menghitung menggunakan benda. Objek utama yang dibicarakan dalam aritmetika adalah bilangan, dan bilangan tidak perlu diikat dengan arti tertentu. Ketika kita mengatakan 19, apakah ini berarti 19 orang? Atau 19 kodok? Bahkan, 19 tidak perlu menyatakan jumlah 19 dari suatu benda. 19 hanyalah... sembilan belas!

Bilangan menjadi suatu konsep abstrak yang dapat kita kaitkan dengan jumlah benda, tetapi tidak harus demikian. Jadi persyaratan abstrak dalam matematika sudah dipenuhi oleh aritmetika.

Walaupun abstrak, seperti yang telah dibahas sebelumnya, abstraksi total tidaklah berguna dalam kehidupan nyata. Kita perlu mengaitkan bilangan dengan jumlah agar aritmetika bisa berguna. Jika tidak, aritmetika hanya akan menjadi seperti sebuah permainan saja.

Aturan-aturan

Dalam aritmetika penjumlahan, kamu diibaratkan memiliki sebuah koleksi. Yang kamu koleksi bukan kartu Pokemon, tetapi aturan penjumlahan berbentuk a+b=c. Koleksi awalmu berisi aturan penjumlahan bilangan satu digit, dari 0+0 hingga 9+9. Namun bilangan pertama tidak lebih besar dari bilangan kedua.

Contoh dari koleksi yang kamu miliki adalah sebagai berikut.

0 + 1 = 1
0 + 2 = 2
3 + 5 = 8
9 + 9 = 18

5+3=8 tidak termasuk dalam koleksi tersebut, karena 5 lebih besar dari 3. Demikian juga 6+1=7 dan 8+3=11.

Untuk menggambarkan secara lengkap koleksi awalmu, kamu dapat menggunakan tabel seperti di bawah ini.

Aturan 1: Komutatif

Penjumlahan akan menghasilkan bilangan yang sama tidak bergantung pada urutan operasinya. Kita menyebut aturan ini sebagai komutatif.

Berarti dengan menerapkan aturan komutatif ini, kamu dapat menarik kesimpulan bahwa 6 + 3 = 9 karena dalam koleksi penjumlahanmu terdapat 3 + 6 = 9.

Algoritma penjumlahan

Berikutnya algoritma penjumlahan. Ini adalah aturan untuk menjumlahkan bilangan yang lebih dari satu digit. Misalnya, 398+14. Kamu harus menuliskannya dalam posisi seperti ini.

3  9  8
   1  4
——————— +

Karena banyaknya digit tidak sama, maka bagian yang kosong harus diisi dengan 0 agar sama banyak. Mengapa kita isi dengan 0? Agar tabel aturan yang ada di atas dapat kita pakai. Jika tidak, 3 tidak akan memiliki pasangan untuk dijumlah.

3  9  8
0  1  4
——————— +

Kemudian, jumlahkan masing-masing digit bilangan yang bersesuaian, mulai dari kanan. Yang paling kanan adalah 8 dan 4, maka kita jumlahkan 8+4 = 4+8 = 12, 9+1 = 1+9 = 10, dan 3+0 = 0+3 = 3.

3  9  8
0  1  4
——————— +
3 10 12

Untuk yang hasilnya lebih dari satu digit, tuliskan digit terkiri di kolom sebelah kirinya. untuk 12, tuliskan 1 di kolom kedua dan seterusnya.

3  9  8
0  1  4
——————— +
3  0  2
1  1        

Berikutnya, isi dengan 0 agar sama panjang.

3  9  8
0  1  4
——————— +
3  0  2
1  1  0

Setelah itu, jumlahkan kembali.

3  9  8
0  1  4
——————— +
3  0  2
1  1  0
——————— +
4  1  2

Nah, dengan demikian kamu mendapatkan penjumlahan 398+14=412. Jadi sekarang kamu memiliki aturan-aturan yang dapat dikelompokkan menjadi tiga.

1. Aturan penjumlahan satu digit, a+b, dengan a tidak lebih besar dari b, yang terdiri dari 55 aturan dari 0+0 hingga 9+9.
2. Aturan komutatif bahwa a+b=b+a.
3. Algoritma penjumlahan yaitu aturan untuk menjumlahkan bilangan yang lebih dari satu digit.

Cukup dengan tiga kelompok aturan ini saja, kita dapat menjumlahkan bilangan dengan digit berapa pun. Jadi aritmetika memenuhi syarat tereduksi matematika. Berbagai macam penjumlahan bahkan hingga ratusan milyar dapat diwakili oleh tiga kelompok aturan di atas.

Sekarang, mari kita lihat bahwa syarat-syarat matematika lain juga dipenuhi oleh aritmetika penjumlahan.

Tidak dapat dilanggar

Penjumlahan tidak dapat dilanggar. Setidaknya, kamu harus sepakat dengan aturan-aturan ini.

Tidak multi-tafsir

Aturan-aturannya terdefinisi dengan baik. 0+1=1, tidak dapat ditafsirkan lain. Kita tidak perlu seorang penafsir untuk membantu menafsirkannya untuk kita.

Konsisten

Aturan penjumlahan tidak mengandung kontradiksi. Tidak ada aturan yang membuat kamu bertanya, Jadi, aturan yang harus saya ikuti yang ini atau yang itu?

Bergantung hanya pada logika deduktif

Kita sama sekali tidak membutuhkan perangkat lain selain logika deduktif.

Kesimpulan: Aritmetika adalah matematika

Jadi aritmetika memenuhi keenam syarat matematika.

Berikutnya: Sistem MIU