Transformasi terhadap persamaan

Sebuah persamaan berkaitan dengan kurva tertentu. Karena kurva adalah tempat kedudukan titik-titik, maka persamaan juga dapat ditransformasikan.

Contoh

Sebuah garis 5x - 6y = 30 ditranslasikan sebesar (-4, -1) kemudian dirotasi sebesar 90° searah jarum jam terhadap pusat (0, 0). Tentukan hasil transformasinya.


Transformasinya: Translasi sebesar (-4, -1), diwakili matriks T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.

Rotasi sebesar 90° searah jarum jam, berarti sudutnya -90°. Diwakili matriks R = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Hasil komposisinya:

K = R \cdot T

Karena translasi dilakukan terlebih dahulu, maka translasi ditulis di belakang.

\begin{aligned} K &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

Sehingga fungsi transformasinya:

F(X) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}X

Cara pertama, karena garis lurus dapat diwakili oleh dua titik, kita cukup menemukan dua titik tersebut dan mentransformasikannya, kemudian mencari persamaan hasilnya.

Persamaan asli: 5x - 6y = 30

Contoh titik: (0,-5) dan (6, 0).

Hasil transformasinya:

\begin{aligned} F\begin{pmatrix} 0 \\ - 5 \\ 1 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ - 5 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} - 6 \\ 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\\\\ F\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

Berarti titik (0, -5) ditransformasi menjadi (-6, 4), dan titik (6, 0) menjadi (-1, -2).

Dengan menggunakan skala linear, persamaan garisnya bisa ditentukan:

-6x-1
4y-2
0x+6 5
0y-4-6

Berarti:

\begin{aligned} \frac{x+6}{y-4} &= \frac{5}{-6} \\ -6(x+6) &= 5(y-4) \\ -6x -36 &= 5y -20 \\ -6x - 5y &= 16 \\ 6x + 5y &= -16 \end{aligned}

Berarti persamaan garis hasil transformasinya adalah:

6x + 5y = - 16

Cara kedua, menggunakan invers. Dengan cara ini kita tidak memerlukan titik contohnya.

\begin{aligned} F\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

Jadi:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \\ \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & - 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \\ \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -y' + 4 \\ x' + 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}

Sampai sini, didapat:

\begin{aligned} x &= -y' + 4\\ y &= x' + 1 \end{aligned}

Kembalikan ke persamaan semula:

\begin{aligned} 5x - 6y &= 30\\ 5\left( - y^{'} + 4 \right) - 6\left( x^{'} + 1 \right) &= 30\\ - 5y^{'} + 20 - 6x^{'} - 6 &= 30\\ - 6x^{'} - 5y^{'} &= 16\\ 6x + 5y &= - 16 \end{aligned}

Latihan

  1. Tentukan hasil transformasi terhadap garis 3x - 4y = 7:

    1. Translasi (8, -9)
    2. Rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat (0, 0).
    3. Dilatasi sebesar \frac{1}{4} terhadap titik (1, 1).
    4. Translasi (3, 5) dilanjutkan dengan refleksi terhadap y = 5.
    5. Rotasi 90° searah jarum jam, dilanjutkan translasi (-1, -8), kemudian refleksi terhadap x = 3.
  2. Persamaan p ditransformasi sehingga hasil akhirnya adalah 2x + 5y = 10. Tentukan persamaan p jika transformasinya adalah:

    1. Translasi (3, -1)
    2. Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat (1, -1).
    3. Dilatasi sebesar 3 terhadap titik (8, 4).
  3. Translasi (1, -5) dilanjutkan dengan rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat (0, 0).

Berikutnya: Transformasi 3 dimensi

Ditulis oleh
Pak Ari
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
transformasi