Rotasi

transformasi

Misalkan terdapat sebuah titik A pada koordinat (x,\ y), yang hendak dirotasi sebesar θ terhadap titik (0,\ 0), seperti pada gambar di bawah ini.

03-transformasi-linear-media-image27-png

Anggap koordinat titik A adalah (x,\ y), yang berarti dapat kita bayangkan terdapat sebuah segitiga siku-siku seperti di bawah ini.

03-transformasi-linear-media-image28-png

Dengan x adalah panjang alas segitiga, dan y adalah tinggi segitiga. Sisi miring segitiga tersebut adalah r, yaitu jarak dari titik (0,\ 0) ke titik A, dan sudut elevasinya adalah α.

Hubungan antar x, y, r, dan α adalah:

x = r\cos\alpha

y = r\sin\alpha

Kemudian pada hasil transformasinya, yaitu A’, juga dapat dibuat segitiga seperti di bawah ini.

03-transformasi-linear-media-image29-png

Kali ini sudutnya adalah \alpha + \theta, sementara sisi miringnya tetap seperti semula yaitu r. Berarti hubungan antara x’, y’, r’, dan α +θ adalah:

x^{'} = r\cos\left( \alpha + \theta \right)

y^{'} = r\sin\left( \alpha + \theta \right)

Dengan menguraikan x’ dan y’ menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah sudut, didapatkan:

x^{'} = r\left( \cos\alpha\cos\theta - \sin\alpha\sin\theta \right)

y^{'} = r\left( \sin\alpha\cos\theta + \cos\alpha\sin\theta \right)

Kemudian kalikan r secara distributif pada suku-suku dalam tanda kurung.

x^{'} = r\cos\alpha\cos\theta - r\sin\alpha\sin\theta

y^{'} = r\sin\alpha\cos\theta + r\cos\alpha\sin\theta

Dengan menggunakan informasi dari titik A:

x = r\cos\alpha

y = r\sin\alpha

Kita dapat melakukan substitusi terhadap r\cos\alpha dan r\sin\alpha, sehingga menjadi:

x^{'} = x\cos\theta - y\sin\theta

y^{'} = y\cos\theta + x\sin\theta

Atau:

x^{'} = x\cos\theta - y\sin\theta

y^{'} = x\sin\theta + y\cos\theta

Dengan demikian fungsi rotasi sebesar sudut θ yang dilakukan terhadap titik asal sumbu koordinat (0,\ 0) adalah:

R_{\theta}\left( x,\ y \right) = \left( x\cos\theta - y\sin\theta,\ x\sin\theta + y\cos\theta \right)

Rotasi 90°

Dengan menggunakan fungsi R_{\theta}, kita bisa mendapatkan rumus fungsi untuk rotasi +90° terhadap titik \left( 0,\ 0 \right). Ingat bahwa arah positif dalam posisi standar berarti berlawanan arah jarum jam.

R_{90\degree}\left( x,y \right) = \left( x\cos{90\degree} - y\sin{90\degree},x\sin{90\degree} + y\cos{90\degree} \right)

Karena \cos{90\degree} = 0 dan \sin{90\degree} = 1, maka:

R_{90\degree}\left( x,y \right) = \left( - y,x \right)

Dengan cara yang sama, bisa didapat untuk rotasi -90° terhadap titik \left( 0,\ 0 \right).

R_{- 90\degree}\left( x,y \right) = \left( y, - x \right)

Rotasi 180°

\begin{aligned} R_{180\degree}\left( x,\ y \right) &= \left( x\cos{180\degree} - y\sin{180\degree},y\cos{180\degree} + x\sin{180\degree} \right)\\ &= \left( - x, - y \right) \end{aligned}

Berikutnya: Generalisasi