Matriks transformasi dalam sistem koordinat homogen

Terlihat bahwa transformasi dilatasi, rotasi, refleksi, dan gusuran diperoleh dengan mengalikan matriks 2×2, tetapi khusus untuk translasi, titik harus dijumlahkan dengan matriks 2×1. Pengecualian seperti ini kurang terlihat indah, karena itu kita memerlukan sistem koordinat homogen.

Sistem koordinat homogen menggunakan ruang yang dimensinya lebih tinggi, tetapi dengan satu sumbu koordinat tetap, tidak berubah-ubah. Untuk keperluan transformasi, kita akan menggunakan konstanta 1.

Sistem koordinat Titik
2 dimensi(x,y)
3 dimensi(x,y,z)
homogen 3 dimensi(x,y,1)

Perbandingan koordinat pada beberapa sistem koordinat.

Fungsi yang kita kehendaki adalah menghitung:

x' = ax + by + c y' = px + qy + r

Koordinat titik dapat diwakili oleh matriks \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \\\end{pmatrix} dan matriks trasnformasinya \begin{pmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Jika kita kalikan matriks transformasi dengan titiknya, kita akan mendapatkan:

\begin{pmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by + c \\ px + qy + r \\ 1 \\ \end{pmatrix}

Sehingga fungsi transformasinya dapat dinyatakan dengan sangat sederhana:

F\left( X \right) = MX

Dengan

X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \\ \end{pmatrix} M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Latihan

  1. Ubahlah fungsi-fungsi transformasi yang telah kamu pelajari menjadi bentuk dalam sistem koordinat homogen.
Ditulis oleh
Ari Prasetyo
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
transformasi